Author: Geoff Shuetrim

1.  (10 points) Andy’s differencing

Andy obtains 3000 observations, x1 , x2 , ..., x3000  from the stochastic process:

xt  = 0.99xt − 1 + 9t

where9t  > N ╱0, σ2、are independently and identically distributed for all t.

He tests for a unit root and mistakenly decides that the stochastic process is integrated of order 1.  He then differences the data to obtain yt  = ∆xt  or all t = 2, . . . , 3000.

(a)  (2 points) Write out the equation describing the stochastic process for the differenced data, yt .

(b)  (2 points) If you were to fit an ARMA model to the differenced data, yt , what should the order of the AR and MA components be?

(c)  (2 points) Is the ARMA model for yt  weakly stationary? Explain your answer.

(d)  (2 points) Is the ARMA model for yt  invertible? Explain your answer.

(e)  (1 point) What pattern would be exhibited by the ACF for yt ?

(f)  (1 point) What pattern would be exhibited by the PACF for yt ?

2.  (10 points) Clare’s ARMA-GARCH

(a)  (4 points)  GARCH(1,1) models have tended to replace the use of ARCH models in empirical liter- ature. Explain the difficulties in applying ARCH models that have motivated this trend.

Clare estimates an ARMA(1,1)-GARCH(1,1) model for a univariate time series of daily returns on a broad market index. She uses a Maximum Likelihood Estimator.

The ARMA(1,1)-GARCH(1,1) model can be written as:

rt  = µ + θ rt − 1 + ut + φut − 1

where:

· ut  = 9t σt  9t   > N (0, 1) are independently and identically distributed through time ·  σt(2)  = α0 + α 1 ut(2)− 1 + β 1 σt(2)− 1

· α0  > 0

· α 1  > 0

· β 1  ● 0

·  α 1 + β1  < 1

She uses a likelihood ratio test to test joint exclusion restrictions on the lagged daily return and the lagged shock. The null hypothesis is:

H0 : θ = φ = 0

and the alternative hypothesis is:

H1 : θ 0 and/or φ 0

(b)  (2 points) What are the economic implications if Clare rejects the null hypothesis?

(c)  (4 points)  Clare’s likelihood ratio test statistic is 52.54.  It has a Chi-squared distribution under the null hypothesis. Set out her hypothesis test at the 1% significance level, indicating the number of degrees of freedom of the Chi-squared distribution, the decision rule, and the conclusion of the test.

3.  (10 points) Frank’s EWMA

(a)  (2 points) What advantage does an EWMA model have over ARMA models when forecasting?  [2 points]

In the 1960s, Frank was analysing the growth patterns in the airline industry to inform his view about prospective earnings if he invested heavily in airlines. He had access to the data show in the following time series plot of monthly data on airline passengers in the US (in thousands of people).

He fitted this data (yt  for t = 1..T) with the following Holt-Winters model:

Level: lt  = α + (1 - α)(lt − 1 + bt − 1 )

Slope: bt  = β(lt - lt − 1 ) + (1 - β)bt − 1

Seasonal: st  = γ lt − 一 bt − 一 + (1 - γ)st −p

The coefficients have been estimated to provide the best possible fit. They are α = 0.25, β = 0.05, and γ = 0.8.

(b)  (2 points) What value would p have in this model? Explain why.

(c)  (2 points)  Explain why he chose to introduce seasonality multiplicatively into the model?

(d)  (2 points)  Given that γ = 0.8, what does this say about the stability of the seasonal pattern?

(e)  (2 points)  As a function of the level, slope and seasonal components in period T, what would you report if you were asked to provide a de-seasonalised estimate of the value of yT +4?