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MAT301 Week 5 Exercises

Exercise 1.  Prove that the group of integers is isomorphic to all of its non-trivial subgroups.

Exercise 2. Let G be a group and let φ be an automorphism of G. Prove that the set of elements of G that are fixed by φ is a subgroup of G.

Exercise 3.  For R = 勿, R, Q, C, what group is the multiplicative group {╱0(1)   1(a)、  : a e R} isomorphic to?

Exercise 4.  Let G be an abelian group and let φ : G → G be the homomorphism defined by φ(g) = g2 .

1.  Suppose that G is finite. Describe when φ is an automorphism of G.

2.  Given an example of an infinite group G such that φ is injective, but not surjective.

Exercise 5.  Let G be a group. For each g e G, let Inn(g) be the inner automorphism of G determined by g, that is, Inn(g) : G → G is defined by Inn(g)(x) = gxg - 1 .

1.  Let g e G. When is Inn(g) = idG ? When is Inn(G) = {idG }?

2.  Let g1 , g2  e G. When is Inn(g1 ) = Inn(g2 )?

3.  Prove that the map Inn : G → Inn(G) is a homomorphism. What is its kernel?

Exercise  6.  Let G and H be isomorphic groups and let φ, ψ  :  G  → H be isomorphisms.   Prove that {x e G : φ(x) = ψ(x)} is a subgroup of G.

Exercise 7.  Prove that the dicyclic group Dic5  of order 20 is not isomorphic to the dihedral group D16  of order 20.

Exercise 8.  Prove that R ×  is not isomorphic to the multiplicative group {╱0(a)   b(0)、  : a, b e R × }.

Exercise 9.  Find an injective homomorphism φ : Q>6  → Q>6  that is not surjective. Conclude that Q>6  is isomorphic to a proper subgroup of itself.

Exercise 10.  Describe all homomorphisms from the additive group Q to itself.  Conclude that there is no injective homomorphism from Q to itself that is not surjective, and therefore Q is not isomorphic to a proper subgroup of itself.

Exercise 11.  Prove that Q ×  is not isomorphic to Q.

Exercise 12.  Let φ e Aut(R × ). Prove that φ(R>6) = R>6  and φ(R<6) = R<6 .

Exercise 13.  Let φ : G → H and ψ : H → K be homomorphisms. How are ker φ and ker(ψ О φ) related?

Exercise 14. Let φ : G → H be a surjective homomorphism. Prove that φ(Z(G)) ζ Z(H). Can you find a counterexample for this result if you drop the assumption that φ is surjective?

Exercise 15. Let G be a finite group. Prove that G is abelian if there exists an automorphism φ of G such that

1.  φ2  = id; and

2.  for all x e G, we have φ(x) = x if and only if x = e.

(Hint: Prove that if an automorphism φ of G with the above properties exists, then for all x e G there exists y e G such that x = φ(y)y - 1 , and think about what this tells you about φ(x). How can you prove that for all x e G there exists y e G such that x = φ(y)y - 1  without explicitly determining y?  Make sure you use the hypothesis that G is finite!)