Exercise  1.  Let F  ⊆ R2   be a proper rectangle,  i.e.   a rectangle that is not a square.   Determine all symmetries of F and write down the Cayley table (a.k.a.  operation table or multiplication table) of the symmetry group of F .

Exercise 2.  Let C be a cube in R3 . How many symmetries of C are there?

Exercise 3.  Let G be a group.

1.  Let  a,b  ∈ G with  a11   =  e.   Express the inverses of a,a2 ,a5 ,a7 ,  and  a10   without using negative exponents.

2.  Let a,b ∈ G with a6  = e = b7 . Write a −2b −4  and (a2 b4 ) −2  without using negative exponents. Exercise 4.  Let G be a group.

1.  Prove that for all a ∈ G, we have (a−1) −1  = a.

2. If a1 , . . . ,an  ∈ G and n ∈ Z, what is (a1 ··· an ) −1? Prove your formula by induction on n.

Exercise  5.  Let G be the set {e,a,b}.  Determine all group operations on the set G for which e is the identity element.

Exercise 6.  Let S be a reflection in Dn . Which elements x ∈ Dn  satisfy x2  = S? Which elements x ∈ Dn satisfy x3  = S?

Exercise 7.  List the elements of the group ((Z/8Z)× , · ) and write down its Cayley table. Exercise 8.  Define a relation ∼ on R by x ∼ y if and only if x − y ∈ Z, for all x,y ∈ R.

1.  Prove that ∼ is an equivalence relation.

2. What are the equivalence classes of ∼?

3.  Prove that each equivalence class of ∼ has a unique representative in [0, 1).

4.  Prove that for all x1 ,x2 ,y1 ,y2  ∈ R, if x1  ∼ x2  and y1  ∼ y2 , then x1 + y1  ∼ x2 + y2 .

For x ∈ R, let [x] denote the equivalence class of x under the equivalence relation ∼ . Let R/Z = {[x] : x ∈ R}, the set of equivalence classes of ∼ . For α,β ∈ R/Z, define α+β ∈ R/Z as follows: choose x,y ∈ R such that α = [x] and β = [y], and define α + β = [x + y]. This is well-defined, independent of the choices of x and y by Part 4. We have a binary operation R/Z × R/Z → R/Z defined by [x] + [y] = [x + y].

5.  Prove that (R/Z, +) is an abelian group.

Exercise 9.  Let G be a group and suppose that a2  = e for all a ∈ G. Prove that G is abelian.                  Exercise 10.  Let G be a finite group. Prove that the number of elements x ∈ G such that x3  = e is odd.

Exercise 11.  Let G be a finite group whose order is even. Prove that there is an element x ∈ G such that x  e and x2  = e.  (Hint: x2  = e if and only if x = x −1 .)

Exercise  12.  The quaternions H, introduced by Hamilton, is a four-dimensional version of the complex numbers. The quaternions H is the real vector space R4  together with a multiplication defined by

(a,b,c,d)(e,f,g,h) = (ae − bf − cg − dh,af + be + ch − dg,ag + ce − bh + df,ah + de + bg − cf).

for all  (a,b,c,d), (e,f,g,h)  ∈ R4 .   With the operations of addition and multiplication,  the quaternions H satisfy  all  axioms of a field except that multiplication is not commutative.   Let  1  =  (1 , 0, 0, 0),i  = (0, 1, 0, 0),j = (0, 0, 1, 0), and k = (0, 0, 0, 1).  Then, the element (a,b,c,d) ∈ H can be written as a1 + bi + cj + dk . It is typical to write a1 as a, so that a1 + bi + cj + dk = a + bi + cj + dk .

Identify the subspace R1 = R(1, 0, 0, 0) = {a1 = (a,0, 0, 0) | a ∈ R} of the quaternions with R via the map a1 7→ a. Identify the subspace Ri + Rj + Rk = {bi + cj + dk = (0,b,c,d) | b,c,d ∈ R} of the quaterions with R3 via the map bi+cj+dk 7→ (b,c,d). For a quaternion x = x0 1+x1 i+x2j+x3 k, we write xs  = x0  ∈ R and xv  = (x1 ,x2 ,x3 ) ∈ R3 , and then x = xs + xv  under our identifications. If x = xs + xv  and y = ys + yv are quaternions, then

xy = (xs ys − xv  · yv ) + (xs yv + ys xv + xv  × yv ),

that is, (xy)s  = xs ys − xv  · yv  and (xy)v  = xs yv + ys xv + xv  × yv .

Consider the subset Q8  = {±1, ±i,±j,±k} of the quaternions H.

1.  Prove that Q8  is a non-abelian group under multiplication. It is called the quaternion group.

2. Write down its Cayley table.

Exercise 13.  Define a relation ∼ on the quaternions H as follows:  for all x,y ∈ H define a ∼ b to mean x = y or x = −y .

1.  Prove that ∼ is an equivalence relation on H and describe its equivalence classes.

2.  Prove that for all x1 ,x2 ,y2 ,y2  ∈ H, if x1  ∼ x2  and y1  ∼ y2 , then x1 y1  ∼ x2 y2 .

For x ∈ H, let [x] denote the equivalence class of x, that is, [x] = {x′  ∈ H : x′ ∼ x}. Let  = {[x] : x ∈ H× }. If α,β ∈  define α · β ∈  as follows: choose x,y ∈ H such that α = [x] and β = [y], and define α · β = [xy]. (By Part 2, this does not depend on the choice of x and y .) Therefore we have a binary operation

H˜ × H˜ −→ H˜

([x], [y]) 7−→ [x] · [y]

3. Is (, · ) a group? Justify your answer.

4.  Let G = {[x] : x ∈ H× }, where H × is the set of invertible quaternions, i.e. H × = H\{0}. Prove that if [x], [y] ∈ G, then [x] · [y] ∈ G. Consequently, we have a binary operation G×G → G,([x], [y]) 7→ [x] · [y].

5.  Prove that (G, · ) is a group.

6.  Let K = {[1], [i], [j], [k]}.  Prove that if α,β ∈ K, then α · β ∈ K, so that we have a binary operation K × K → K,(α,β) 7→ α · β .

7.  Prove that (K, · ) is a group and write down its Cayley table.

8.  Compare the Cayley table of K with the Cayley table of the symmetry group of a proper rectangle from Exercise 1.

Exercise 14 (x1 ∗ · · · ∗ xn  is unambiguous).  Let S be a set and let ∗ : S × S → S be an associative binary operation.  The pair (S,∗) is called a semigroup.  Note that every group is a semigroup.  An example of a

semigroup that is not a group is (Z>0 , +).

For each n ∈ Z>0, we will define a function Pn  : Sn  → 2S  such that for all (x1 , . . . ,xn ) ∈ Sn , the set Pn (x1 , . . . ,xn ) is the subset of S consisting of all ways of inserting parentheses in the string of symbols x1 ∗ · · · ∗ xn  to obtain a valid product in (S,∗). For example, we will have

P4 (x1 ,x2 ,x4 ) =   x1 ∗ (x2 ∗ (x3 ∗ x4 )),x1 ∗ ((x2 ∗ x3 ) ∗ x4 ),

(x1 ∗ (x2 ∗ x3 )) ∗ x4 , ((x1 ∗ x2 ) ∗ x3 ) ∗ x4 , (x1 ∗ x2 ) ∗ (x3 ∗ x4 )  . We now inductively define the functions Pn  : Sn  → 2S  for all n ∈ Z>0 .

(i)  Define P1  : S → 2S  by P1 (x1 ) = x1  for all x1  ∈ S .