1.  Consider the matrix A = ┐ .

(a) Without performing any computations, explain why 0 is an eigenvalue of A. (b) Find the 0-eigenspace of A.

(c)  Starting with x体  = ┌ ┐0(1) perform two iterations of the power method on A.

(d) Determine the domininant eigenvalue of A.

(e) Let v =  ┌ ┐1(1) .  Show that A is the matrix of the linear map projv  : R2  → R2

(with respect to the standard basis on the domain and codomain).

(f) Let b|  =  ┌ ┐1(1) and b2  =  ┌ 1┐ .  What is the matrix of projv  : R2  → R2  with

respect to the basis 夕 = (b|．b2 ) (on both domain and codomain)?

2.  Consider the following vectors

┌ ┐1(1)                ┌ ┐0(0)                ┌ ┐2(0)              ┌ 1(1) ┐

w|  =  '''0(0)'''．    w2  =  '''1(1)'''．    w3  =  '''1(1)'''．    b =  '''1''' .

We also define the subspace w = span{w|．w2．w3 扌

(a) In one sentence, explain why {w|．w2．w3 扌 is a basis for w .

(b) Use Gram-Schmidt to find an orthogonal basis for w .

(c) Find the projection of b onto w .

(d) Find a basis for w_ , the orthogonal complement of w .

(e)  State an orthogonal basis for R4  that includes w| .

(f) Determine the Economy QR factorisation of the matrix B = ┌w|    w2    w3 ┐ .

3.   (a)  Suppose M is an m ↓ ′ matrix of rank 亿 . What are the dimensions of the four fundamental subspaces of M?

(b)  Give an example of an inner product on a vector space other than the dot product on R脯 .

(c) Let u =  '(┌)1'(┐)．v =  '(┌)'(┐) and A = uvT .

i. Find |u|| , |v|| , |u|& , and |v|& .

ii. Find |A||  and |A|& .

(d)  Give an example of a matrix A with condition number 62 (A) = 1.