Question 1 (14 marks)

[3 marks] Let A be a symmetric matrix with eigenvalues all either 0 or 1. Show that A is idempotent.

[3 marks] Let B be a symmetric matrix with positive eigenvalues. Show that B is positive definite.

(c) [3 marks] Let y be a random vector with E[y] = µ and Var y = V , and let C be a matrix. Show directly that Var Cy = CVCT .

[2 marks] Let D be a matrix. Show directly that r(Dc D) = r(D).

[3 marks] Find a conditional inverse of

E = ┌ ┐

' 3   3   333   3333 ' .

Question 2 (11 marks)

Let

y = ┌ y(y)扌(|) ┐ ( MVN ╱┌ 2(1) ┐ , ┌ 1(3)   2(1) ┐、,

and

A = ┌ 2一1 一11 ┐ ,    V = ┌ 1(3)   2(1) ┐ .

(a) [2 marks] Calculate E[yT Ay].

[2 marks] Let z = y 一 E[y]. Describe the distribution of zT V-|z, where V = Var y.

[3 marks] Let x = (y|, y扌 , y| 一 y扌 )T . Describe the distribution of x.

Question 3 (16 marks)

For this question, we study the relationship between the compressible strength  (MPA) of a concrete slump and the following seven ingredients:

❼ Cement: cement (kg/m扌 )

❼ Slag: blast furnace slag (kg/m扌 )

❼ Flyash: fly ash (kg/m扌 )

❼ Water: water (kg/m扌 )

❼ SP: superplasticizer (kg/m扌 )

❼ Coarse: coarse sand aggregate (kg/m扌 )

❼ Fine: fine sand aggregate (kg/m扌 )

>  slump  <- readRDS("slump.Rds")

>  head(slump,  n  =  5)

>  y  =  slump$MPA

>  X1  =  as.matrix(cbind(1,  slump$SP))

>  round(solve(t(X1)%*%X1),6)

[,1]            [,2]

[1,]    0.100417  -0.010622

[2,]  -0.010622    0.001244

>  t(X1)%*%y

[,1]

[1,]    3712.06

[2,]  31615.27

>  sum(y^2)

[1]  140047.1

>  sum((y  - mean(y))^2)

[1]  6266.664

>  fullmodel  <- lm(MPA ~ ., data = slump)

>  summary(fullmodel)

Call:

lm(formula  =  MPA  ~  .,  data  =  slump)

Residuals:

Min            1Q   Median           3Q         Max

-5.8411  -1.7063  -0.2831    1.2986    7.9424

Coefficients:

Estimate  Std.  Error  t  value  Pr(>|t|)

---

Signif.  codes:    0  ‘***’  0.001  ‘**’  0.01  ‘*’  0.05  ‘.’  0.1  ‘  ’  1

Residual  standard  error:  2.609  on  95  degrees  of  freedom                Multiple  R-squared:    0.8968,               Adjusted  R-squared:    0.8892 F-statistic:      118  on  7  and  95  DF,   p-value:  < 2.2e-16

>  qvec  =  c(0.025,  0.05,  0.1,  0.9,  0.95,  0.975)

>  qchisq(qvec,  df  =  95)

[1]    69.92487    73.51984    77.81843  113.03769  118.75161  123.85797 >  qt(qvec,  df  =  95)

[1]  -1.985251  -1.661052  -1.290527    1.290527    1.661052    1.985251 >  qf(0.95,  5:10,  95)

[1]  2.310225  2.195548  2.107506  2.037370  1.979923  1.931838

(a) [2 marks] For the model MPA = βb + β|SP + ε, calculate the least squares estimate b.

[2 marks] For the model MPA = βb + β|SP + ε, calculate SSRes .

[2 marks] For the full model, find a 95% confidence interval for β扌in。.

[3 marks] For the full model, test the hypothesis Hb : βslag  = 0 at the 5% significance level using an F-test.   State the F-statistic, the p-value, and your conclusion in the context of the study.

Question 4 (11 marks)

Consider the generalised least squares estimator

b = (XT V-|X)-|XT V-|y

for a full rank linear model

y = Xβ + ε ,

where X is an n × p matrix with rank p, ε ( MVN (0, V), and V is known.

[2 marks] Show directly that E[b] = β .

[3 marks] Calculate Var b.