Set 1.  Section 1.1-1.2: Introduction to Differential Equations

1. Determine if y = ex cos x is a solution of the ODE y1 . y = ex sin x.

2. Determine if u = t sin t + cos t ln(cos t) is a solution of the ODE u11 + u = sec t.

3. Verify that y = e_x + ce_2x  is a solution of the ODE y1 + 2y = e_x  for all values of c. Find the value of c that satisfies the initial condition y(0) = 4.

4. Find the value of k for which u = sin(4kt) is a solution of the ODE u11 + 4u = 0.

5. Find the equilibrium solutions of the ODE y1  = y2 . 4.

6. Draw the direction fields of the following ODEs. (a) y1  = y2 . 4

(b)   = t2 . 4

7.  (i) Find the order, (ii) Is it linear or non-linear?

(a) ty11 + y sin t = t3

(b) y11 + y2 sin t = t3

(c) y11 + sin(t + y) = t3

(d) y111 + yy1  = sin t

(e) t2y1 + et sin t = et

(f) y1 + ey sin t = et

(g) yy11 + y1  = et

Set 2.  Section 2.1: Separable ODEs

1.  Solve the following ODE.

dy            e_y2            

(a)  dx = 2y(1 + x2 ) , y(1) = 0

y2 . y

x

(c) t2   = ln t

(d) y1  = cos2 x (1 . y2 , y(0) = 

2.  Solve the following homogeneous ODE.

(a)  dx =  x . y , y(1) = 0

dy       3y2 . x2

dx         2xy

Set 3.  Section 2.2: First Order Linear ODEs

Solve the following first order linear ODEs.

1.   . y = 2xe2x, y(0) = 1

2. ty1 + 2y = sin(t2 )

dy

Set 4.  Section 2.3: Exact ODEs

1. Determine if the ODE is exact. If it is exact, solve it.

(a)  (2xy . y ) + (2xy2 . x )y21  = 0

(b)  (3x2 . 2xy + 2) dx + (6y2 . x2 + 3) dy = 0

(c)  (ex sin y . 2y sin x) + (ex cos y + 2 cos x)y1  = 0

dy

2. Verify that the following non-exact ODE becomes exact on multiplication by the IF

dy

dx

3. Find an IF µ that makes the following non-exact ODE exact and solve it: y1  = e2x+y . 1

Set 5.  Section 2.4: Autonomous ODEs and Stability of Equilibrium Solutions

1. Find the equilibrium solutions of y1   = y2  . 4y + 3 and classify the stability of the equilibrium solutions.

2.  Suppose the autonomous ODE y1  = f (y) has the following direction field.  Find the equilibrium solutions and classify their stability.

Set 6.  Section 2.5: Existence and Uniqueness of Solutions

Find the largest interval in which the following ODE has a unique solution.  Justify your answer.

1.

y6 sin y

2.

dx = x2 . 4 , y(0) = 1

Set 7.  Section 2.6: Euler’s Method

1. Use Euler’s method with step size h = 0.5 to approximate y(1.5) where y = φ(x) is a solution to the following ODE.

dy

2. Use Euler’s method with step size h = 1 to approximate y(3) where y = φ(x) is a solution to the following ODE.

 = xey2 , y(0) = 0

Set 8.  Section 2.7: Modeling with First Order ODEs

1.   (a) Write the first order IVP for Radioactive Decay and solve it.

(b)  Suppose 10% of the original amount of 14 C remained in a fossil. Find the age of

the fossil. Assume that 14 C has halflife of 5,730 years.

2.   (a) Write the first order IVP for Newton’s Law of Cooling and solve it.

(b)  Suppose you have a bowl of soup at 100o  C. After 6 minutes it cools down to

90o  C by occasional stirring. At what time it would be 50o  C? Assume the room temperature to be 20o  C.

3.  Suppose a tank contains 100 gallon of salt water containing 50 lb salt. Then salt water with 2 lb salt/gal is pumped into the tank at a rate 4 gal/min and the “well-stirred” salt water is pumped out of the tank at the same rate 4 gal/min.

(a)  Set up a first order IVP and solve it.

(b) Find the time at which the tank will have 100 lb salt?

Set 9.  Section 3.1: Linear Homogeneous Second Order ODEs with Constant Coefficients

1. Find the general solution of the following ODEs.

(a) y11 . y1 . 2y = 0.

(b) y11 . 3y1  = 0.

2.  Solve the following ODEs. You may use general solutions from Problem 1.

(a) y11 . y1 . 2y = 0, y(0) = 1, y1 (0) = .7.

(b) y11 . 3y1  = 0, y(0) = .1, y(ln 2) = 6.

Set 10.  Section 3.2: Linear Homogeneous Second Order ODEs and Wronskian

1. Find the Wronskian W (cos x, sin x).

2. Use Wronskian to determine if the following functions are linearly independent.

(a) y = x + 1 and y = x2 + x.

(b) y = ex  and y = ex+2 .

(c) y = cos(2x) and y = 2 cos2 x . 2 sin2 x.

Set 11.  Section 3.3: Linear Homogeneous Second Order ODEs : Repeated Real Roots

1. Find the general solution of the following ODEs.

(a) y11 . 2y1 + y = 0.

(b) y11 + 6y1 + 9y = 0.

2.  Solve the following ODEs. You may use general solutions from Problem 1.

(a) y11 . 2y1 + y = 0, y(1) = 0, y1 (1) = 2e.

(b) y11 + 6y1 + 9y = 0, y(0) = 2, y1 (0) = 1.

Set 12.  Section 3.4: Linear Homogeneous Second Order ODEs : Complex Roots

1. Find the general solution of the following ODEs.

(a) y11 + 4y1 + 5y = 0.

(b) y11 . 2y1 + 5y = 0.

2.  Solve the following ODEs. You may use general solutions from Problem 1.

(a) y11 + 4y1 + 5y = 0, y(0) = 2, y1 (0) = 1.

(b) y11 . 2y1 + 5y = 0, y(0) = 2, y1 (0) = 0.

Set 13.  Section 3.5: Second Order ODEs : Undetermined Coefficients

Use Undetermined Coefficients to find the general solution.

1. y11 . y1 . 2y = 2x2 . 4x + 1

2. y11 . 4y = 8e2x

3. y11 + y = 4 cos x + 2 sin x

4. y11 . 2y = 4ex cos x

5. y11 . 2y1 + y = (6x . 2)ex

6. y11 + 2y1 + y = 2 cos x . 2x sin x

Set 14.  Section 3.6: Second Order ODEs : Variation of Parameters

Use Variation of Parameters to find the general solution.

ex

1. y11    . 2y1   + y =

2. y11 + y = sec2 x

3.  (1 . x)y11 + xy1 . y = 2(x . 1)2 e_x

You may use the fact that y1   =  x and y2   =  ex   are fundamental solutions of the corresponding homogeneous ODE.

Set 15.  Section 3.7: Modeling with Second Order ODEs

1.  Consider a spring-mass system where a mass of 4 kg stretches the spring 1 .09 m. The spring is displaced 0.1 m downwards from its equilibrium position with no external or damping forces. Write an IVP and solve it to find the displacement after 40 seconds. (g = 9.81 m/s2 )

2.  Consider a spring-mass system with a damping force but no external forces that has the following equation of motion. Determine if there will be underdamping, overdamping, or critical damping.

x11 + 3x1 + 4x = 0, x(0) = 5, x1 (0) = 0

3.  Consider a spring-mass system where a mass of 4 kg stretches the spring 1 .09 m. Now the system is submerged in a viscous fluid which exerts a force of 12 kgxm/s2  when the velocity is 0.5 m/s. The spring is displaced 0.1 m downwards from its equilibrium position in the liquid with no external forces.  Write an IVP and solve it to find the displacement after 2 seconds. (g = 9.81 m/s2 )

Set 16. 4.1-4.2 Higher Order ODEs

Find the general solution.

1.  D2 (D + 1)3 (D2 + 4)2y = 0

2. y111 . 4y11 + 4y1  = .8e2x

3.  (D . 1)(D2 . 2D + 2)y = 7 cos x . sin x

4. y(4) + y(3) . 2y11  = 12x + 2

Set 17.  5.1 Introduction to Linear Algebra

Find eigenvalues and corresponding eigenvectors of A.

1. A = ┌ 3(2)   2(3) ┐

2. A =  ┐

Set 18.  5.2 Introduction to Systems of Linear ODEs

1. Write the following system in matrix form.

x1(1)     =   .x1     +     x2     +   sin t

x2(1)     =      x1     .   2x2     +      et

2. Write the following IVP in matrix form.

x1(1)     =    2x1     .   3x2

x2(1)     =   .x1     +   2x2

x1 (0) = 1, x2 (0) = .1.

3.  Convert the following third order linear ODE to a system of linear ODEs and write its matrix form.

y111  = t2y11 . ty1 + y . 5 cos t.

Set 19.  5.3 Solving Linear Systems with constant coefficients

1. Find the general solution.

(a)  1  = ┌ 4(1)

(b)  1  =  ┌ 1(1)

0

3(2) ┐ 

 ┐

0   .3

2.  Solve the IVP 1  = ┌ . 1(1)

3.  Solve the IVP 1  = ┌ .(.)2(2)

. 2(2) ┐   (0) = ┌ 1(5) ┐ .

5(6) ┐   (0) = ┌ .1(0) ┐ .

Set 20.  5.4 Equilibrium Solutions and Phase Portraits

1.  1  = ┌ 3(2)   2(3) ┐  .

(a) Draw direction field. Use the points: (0, 0), (士1, 0), (0, 士1), (士1, 士1). (b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

2.  Suppose 2 ×2 matrix A has eigenvalues .3 and .1 with eigenvectors ┌ 1(1) ┐ and ┌ . 2(1) ┐ respectively.

(a) Find the general solution of 1  = A  .

(b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

3.  Suppose 2 × 2 matrix A has eigenvalues 2 and 3 with eigenvectors  ┌ 3(1) ┐ and  ┌ . 1(1) ┐ respectively.

(a) Find the general solution of 1  = A  .

(b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

Set 21.  5.5 Complex Eigenvalues for Linear Systems

1.  1  =  ┐  .

(a) Find the general solution.

(b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

2.  Suppose 2 × 2 matrix A has an eigenvalue 2i with eigenvector  =  ┐ .

7

(a) Find the general solution of 1  = A  .

(b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

Set 22.  5.6 Repeated Eigenvalues for Linear Systems

1.  1  =  ┐  .

(a) Find the general solution.

(b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

2.  1  =  ┐  .

(a) Find the general solution.

(b) Draw the phase portrait.

(c)  Classify the equilibrium solution with its stability.

Set 23.  6.2 Series Solutions about an Ordinary Point

1.  (1 . x)y11 + y = 0

(a) Find first four nonzero terms in each of two power series solutions y1  and y2  about

0.

(b)  Show that power series solutions y1  and y2  are fundamental solutions.

(c) Write the general solution in terms of power series solutions.

2. y11 . xy1 + y = 0

(a) Find first three nonzero terms in each of two power series solutions y1  and y2

about 0.

(b)  Show that power series solutions y1  and y2  are fundamental solutions.

(c) Write the general solution in terms of power series solutions.