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Math 4564

Practice Test 1 solution

Exercise 1:  (25 pts) Use Laplace transform to solve the following IVP

y′ (t) + y(t) = f(t),         y(0) = 0,

where

f(t) =

Solution:  First, we need to find F(s). There are at least two ways to do that:

1. Notice that f(t) = (1 − U (t − 1)) − U (t − 1) = 1 − 2U (t − 1). Therefore, F(s) =  .

2. The definition of LT states that

F(s) = 0 ∞ f(t)e−st  dt = 0 1 e −st  dt − 1 ∞ e −st  dt =  .

Now, we apply Laplace transform to the IVP to get

(s + 1)Y (s) =                =⇒ Y (s) =               − 2             e −s

We apply a simple PFD to get

L−1     = L−1    −   = 1 − e −t .

The ILT of the second term can be obtained via the second translation theorem

L−1  e−s   =1 − e− (t− 1)   U (t − 1)

We combine both results to get

Exercise 4:  (25 pts) Find

1. L−1    .

2. L     r sin(r) dr   . 0

3. L{sin(t)cos(t)}.

Solution:

1.

L−1     = L−1     = L−1 {1} − L−1     = δ(t) − sin(t).

2. Use theorem 7.4.3 and then theorem 7.4.1 to get

L  Z0 t r sin(r) dr = L{tsin(t)} =  L{sin(t)} =      =

Note: There is another (lengthier) way to find this LT by evaluating the integral

Z0 t r sin(r) dr =  − r cos(r) 0(t) + Z0 t sin(t) dr = −tcos(t) + sin(t)

and then applying 7.4.1 to compute the LT.

3. We have

L{sin(t)cos(t)} = 1 L{sin(2t)} = 1 ·     2    =     1   

Note: You CANNOT apply the convolution theorem here.