I. Choose the correct answer.

1. Find the centre and radius of the sphere with the equation 2x2 + 2y2 + 2z2 _ x + y _ z _ 9 = 0.

(A) Centre (  , _  , ) and radius  .

(B) Centre (  , _  , ) and radius  .

(C) Centre (_  ,  , _ ) and radius  .

(D) Centre (  , _  , ) and radius  .

Answer (D).

2. Find the equation of the plane containing the points P = (9, 1, 2), Q = (9, 0, _2), and R = (0, 2, _1). (A) 7x + 36y _ 9z = 0.

(B) 7x + 36y _ 9z _ 81 = 0.

(C) _y + z + 30 = 0.

(D) 7x + 36y _ 9z + 9 = 0.

Answer (B).

3. Which of the following is the derivative of the vector valued function -r(t) = e2t+ cos 3t + t2 ?

(A) -r/ (t) = e2t+ 3 sin 3t + 2t .

(B) -r/ (t) = e2t _ 3 sin 3t + 2t .

(C) -r/ (t) = 2e2t+ 3 sin 3t + 2t .

(D) -r/ (t) = 2e2t _ 3 sin 3t + 2t .

Answer (D).

4. Given the equations of three planes as follows:

Π 1  :   x + y + z = 2

Π2  :   3x + 2y + 4z = 3  .

Π3  :   x + 3y _ z = 8

Let l1  be the line of intersection by the planes Π 1  and Π2  and l2  be the line of intersection by the planes Π2  and Π3 . Then the relation between l1  and l2  is

(A) Skewed (nonintersecting and nonparallel).         (B) intersecting and perpendicular.

(C) parallel but not the same.         (D) same line.

Answer (D).

5. Find the second order partial derivatives of the given function f (x, y) = tan- 1 (_3x + 2y).

A) fxx  =  , fyy  =  and fxy  = fyx  =  .

(B) fxx  =  , fyy  =  and fxy  = fyx  =  .

(C) fxx  =  , fyy  =  and fxy  = fyx  =  .

(D) fxx  =  , fyy  =  and fxy  = fyx  =  .

Answer (A).

6.  Find the direction derivative of the function f (x, y) = e3y cos x at the point P (0, 0) in the direction -a = I3  _ .

Answer (A).

7. Which of the following statement on the function f (x, y) = ,      is right. (A) f has continuous first partial derivatives (0, 0).

(B) f is differentiable at (0, 0).

(C) f is continuous but not differentiable at (0, 0).

(D) f is not continuous at (0, 0).

Answer (C).

8.  The radius r and height h of a cylinder are changing with time.  Suppose that at the instant when r = 3cm, h = 5cm,  = 0.02cm/sec and  = –0.02cm/sec. At about what rate is the cylinder’s volume changing at that time (cm3 /sec)?

(A) 0.38.

(B) 2.45.

(C) 1.32.

(D) 0.75.

Answer (C).

9. Find the global maximum and minimum of the function f (x, y) = 5x2 + 8y2  on the closed triangular

region bounded by the lines y = x, y = 2x and x + y = 6.

(A) Global maximum:  117 at (3, 3), global minimum: 52 at (2, 2).

(B) Global maximum:  117 at (3, 3), global minimum: 0 at (0, 0).

(C) Global maximum:  148 at (2, 4), global minimum:  117 at (3, 3)

(D) Global maximum:  148 at (2, 4), global minimum: 0 at (0, 0).

Answer (D).

10. Find all the local extreme values of the given function f (x, y) = x3 + y3 _ 108x _ 27y _ 6 and identify each as a local matimum, local minimum, or saddle point.

(A) (6, 3), local minimum; (6, _3) saddle point; (_6, 3) saddle point; (_6, _3), local maximum. (B) (6, _3) saddle point; (_6, 3) saddle point.

(C) (_6, _3), local maximum.

(D) (_6, _3), local maximum; (6, 3), local minimum.

Answer (A).

11. Which of the following statements is correct?

o                                                   o

(A) If 0 < bn  < an  for all n > 1, and if  ← bn  converges, then  ← an  converges.

n=1                                               n=1

o                                                               an+1

n=1                                               n → o    an

(C) If an  > 0 and bn  > 0 for all n > 1,  lim        = 0 and if  ← an  converges, then  ← bn  converges.

o

(D) If 0 < an+1   < an  for all n > 1, and if   lim  an  = 0, then  ← (_1)n+1an  converges and has sum S

n → o                                         n=1

satisfying 0 < S < a1 .

Answer (D).

12. Which of the following series is divergent?

(A)  .       (B)  ╱ 1 _ 、n .       (C)  .       (D)   .

Answer (B).

13. Which of the following series is conditionally convergent? (A) (_1)n - 1 .         (B) (_1)n - 1  .

(C) (_1)n - 1 .         (D) (_1)n - 1 ╱ 1 _ cos 、. Answer (C).

14. Find the power series representation for f (x) =                and specify the set of convergence.

(A) f (x) = x _ 2x2 + 3x3 _ 4x4 + . . . ,   _1 < x < 1.

(B) f (x) = x + 2x2    + 3x3    + 4x4    + . . . ,   _1 < x < 1.

(C) f (x) = 1 _ 2x + 3x2  _ 4x3  + . . . ,    _ 1 < x < 1.

(D) f (x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . ,   _1 < x < 1.

Answer (A)

o

15. Given four statements about a general series  ← an . Which of them are always correct? n=1

o                                                          o

(1) If  ← an  converges, so does  ← an(2) . n=1                                                      n=1

o

(2) If  ← an  diverges, then its sequence of n-th partial sums is unbounded. n=1

o                                                   o

(3) If  ← an  converges, then  ← (_1)n an  converges. n=1                                               n=1

o

(4) If for some c > 0, can  >  for all n > 1, then  ← an  diverges.

n=1

(A) (4).

(B) (1),(4).

(C) (1),(2),(3).

(D) (2),(3).

Answer (A)

16. Suppose that

R = {(x, y) : 0 < x < 7, 0 < y < 5},

R1  = {(x, y) : 0 < x < 7, 0 < y < 3},

R2  = {(x, y) : 0 < x < 7, 3 < y < 5}.

Suppose, in addition, that !! f (x, y)dA = 5,  !! f (x, y)dA = 2,  !! g(x, y)dA = 9,  !! g(x, y)dA = 8.

R                                          R1                                                             R                                          R1

Evaluate !! ┌9f (x, y) + 7g(x, y)┐dA.

R2

(A) 25.

(B) 108.

(C) 27.

(D) 34.

Answer (D)

17.  Write the iterated integral !06 !y2(36)  f (x, y)dxdy as an iterated integral with the order of integration interchanged.

(A) !0(36) !0,x f (x, y)dydx.

(B) !0(36) !6,x f (x, y)dydx.

(C) !06 !0,x f (x, y)dydx.

(D) !06 !6,x f (x, y)dydx.

Answer (A)

18. Find the area of the part of the surface z = !x2 + y2  below the plane z = 4.

(A) 16π .

(B) 16I2π .

(C) 4I2π .

(D) 4π .

Answer (B)

19. Find the volume of the solid bounded by the surface z = x2 + y2 , the cylinder x2 + y2  = 2x and the xy-plane.

(A)

3π

4 .

(B) 3π .

(C)   2 .  (D)   8 .

Answer (C)

20.  Let S be the solid bounded by the paraboloid z = 2x2  + y2  and the cylinder z = 4 _ y2 .  Write

!!! f (x, y, z)dV as an iterated triple integral in the order dzdydx.

S

(A) !2 ! !2x2(4-)y2  f (x, y, z)dzdydx.

(B) !2 ! ! f (x, y, z)dzdydx.

(C) !2-2 ! !2x2(4-)y 2  f (x, y, z)dzdydx.

(D) !2-2 ! !4-(2x)y(2)y2  f (x, y, z)dzdydx .

Answer (A)

II. Comprehensive questions.

21.   Assume that Π 1  is the surface with the equation ln( ) + 2yz2  = 4 and Π2  is the plane with the equation x + 2z = 3. Let C be the curve of intersection of the surfaces Π 1  and the plane Π2 .

1.  Find the equation of the tangent plane to Π 1  at the point P (1, 2, 1).

2.  Find parametric equations of the tangent line to the curve C at the point P .

3.  Assume that f (u, v) be a differentiable function with f (1, 2) = 1, fu (1, 2) = 1 and fv (1, 2) = 2. Let the function w = f ( , yz), where z = z(x, y) is implicitly determined by the equation of Π1 . Find  (P), the partial derivative of w with respect to y at the point P (1, 2, 1).

Solutions:

1. Let F (x, y, z) = ln() + 2yz2 _ 4. Then

Fx  =  , Fy  = 2z2  and Fz  = 4yz. Further  = _ F(F)g之   = _  = _  .

The normal vector to the tangent plane is n =〈Fx , Fy , Fz〉）(1 ,2 , 1)  =〈1, 2, 8〉.

So the tangent plane is (x _ 1) + 2(y _ 2) + 8(z _ 1) = 0 or x + 2y + 8z = 13.

2.  The direction vector to the curve C is orthogonal to both the normal vector of Π 1  and the normal

vector of Π2  and therefore could be chosen as the cross product of these two vectors l- =〈1, 2, 8〉x〈1, 0, 2〉=〈4, 6, _2〉= 2〈2, 3, _1〉.

Therefore the parametric equations for the tangent line to the curve C is

x   = 2t + 1

y    = 3t + 2

z    = _t + 1

3.

By the result of 1:   = _F(F)g之   = _  = _  . At the point (1, 2, 1),  (P) = _

By the chain rule:   = fu (  , y)  + fv (  , yz)(z + y ).

At the point P :   (1, 2, 1) = fu (1, 2)   (1, 2, 1) + fv (  , 2)(1 + 2  (1, 2, 1)) = 1(_ ) + 2(1 + 2(_ )) =  .

22.      let the sequence {an } be defined by a0  =    and an  = !!S  dA(n =  1, 2, . . . ), where

S = {(x, y)）0 < y < x, 0 < x < 1}.

1. Find an .

o

2. Find the convergence set for the power series  ← an xn . n=0

o

3. Find the sum of the power series  ← an xn . n=0

Solution:

1. a0  =  ,

an  = !01 !0x dydx = !01 dx =  (  )n+1, for n = 1, 2, . . . .

2. From (1),  ← an xn  = 4(π)   ←  n1 ( 4(πx))n .

n=0                           n=0

nl））= nl │ /  │ = ）x）< 1.

Thus as ）x）<  , the series converges absolutely.

o

When x =  , the series is   ←    , a constant multiple of the harmonic series , so it is divergent.

n=0

When x = _  , the series is      . This is an alternating series with the general term decreasing

n=0

and goes to zero as n goes to infinity. Therefore it is convergent.

So the convergence set is [_  , ) .

o                             o                                                                                                    o

3.  ← an xn  =   ←   ( )n , x e (_  , ). Denote φ(t) =  ←  tn .

n=0                           n=0                                                                                                        n=0

o

Then tφ(t) =  ←  tn+1 .

n=0

o

[tφ(t)]/   =  ← tn  =  .

n=0

tφ(t) =!0(t) ds = _ ln(1 _ t) and φ(t) = _  as t  0.

Therefore  an xn  = ,   , ) but x  0

23.    Let F(x, y, z) be the vector field in 3-space given by F(x, y, z) = _yzi + xyj + y2 k.  Let Σ be the paraboloid z = x2 + y2  such that z < 1 and D be the projection region of Σ onto the xy-plane.

1.  Find a unit normal vector:  n to the surface Σ at any point (x, y) such that the third component of

this vector is positive. You may need to use the formula n = -fz {-fg计+k

2. Find the curl of F: curl F.

3. Let curl F）Σ  denote the curl of F on the surface Σ, i. e. z is replaced by x2 + y2 . Compute the double

!!

D

Solution

1. Consider z = f (x, y) = x2 + y2 . Then the unit normal vector could be chosen as

_fx i _ fyj + k      _2xi _ 2yj + k

│ 1 + fx(2) + fy(2)          !1 + 4x2 + 4y2 .

2.

│  i       j      k │

curl F = │           │ = 2yi _ yj + (y + z)k.

│                     2 │

3. D = {(x, y)）x2 + y2  < 1} = {(r, θ)）0 < r < 1, 0 < θ < 2π}.

curl F）Σ . n = (2yi _ yj + (y + x2 + y2 )k) . I(-)4(+)y2(k)    =  .

D

dA

dA + !! dA =: I1 + I2 .

D