MAT237 Multivariable Calculus with Proofs Problem Set 2

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT237  Multivariable Calculus with Proofs

Problem Set 2

Problems

1. (1a)  Give an example of a non-convergent sequence {xk）in Rn such that the set {x1 , x2 , ...）is not closed.

(1b) Let {xk）be a sequence in Rn with no convergent subsequence. Show that the set {x1 , x2 , ...）is closed.


2. Let A, B - Rm  and let f  : A u B o Rn . Assume the restricted functions: f |A  : A o Rn  and f |B  : B o Rn  are continuous.

(2a)  Give an example of a function f  and sets A and B such that f is not continuous.

(2b) Prove that if A and B are closed, then f is continuous.


3. Let A, B - Rn be non-empty path-connected sets.

(3a) Prove that if A n B  a then A u B is path connected.

(3b)  Give an example of non-empty sets A and B such that A n B = a and A u B is path connected.

(3c) Prove that if A and B are non-empty open subsets of Rn and An B = a then Au B is not path connected.


4. (4a) Let A S Rn  and f  : A o Rm . Suppose a is a limit point of A. Prove that if there exist parametric curves 51  : [0, 1] o Rn and 52  : [0, 1] o Rn and b1 , b2 e (0, 1) such that:

•  51 (t)  a if t  b1 and 52 (t)  a if t  b2 ,

•  tlob1(im) 51 (t) = tlob2(im) 52 (t) = a,

•  and tlob1(im) f (51 (t))  tlob2(im) f (52 (t)),

then x(l)oa(im)f (x) does not exist.

(4b) Let f (x , y) = a . Use part (a) to prove that (x ,y(li)0,0)f (x , y) does not exist.


5. Limits can measure the rate at which functions tend to zero (or infinity) and polynomials are your favourite functions of all time. Let y1 , . . . , yn  e N and let A e N+ . You will compare the behaviours of the monomial x 1(y)1  ﹒ ﹒ ﹒ x n(y)n   and the norm ||x||A as l(x1 , . . . , xn )l o o.

(5a)  Prove that if n c 2 and y1 + ﹒ ﹒ ﹒ + yn  c A, then lxl(li)oo(m)   does not exist. Do not use the result

from question (4a).

(5b)  Briefly explain why the assumption n c 2 is necessary is part (a).

(5c) Use the e _ δ definition of the limit to prove that if y1 + ﹒ ﹒ ﹒ + yn < A, then lxl(li)oo(m)       lxlA        = 0.


6. The Intermediate Value Theorem tells us that if f  : R o R is continuous on [a, b] and f (a) s c s f (b), then c is in the range of f . Is the same true for functions f  : A o R where A S Rn ? We need an additional assumption in this case: that A is path-connected. We will prove the following result:

Let A S Rn be a path-connected set and a, b e A. Suppose f  : A o R and c e R such that f (a) s c s f (b).

(6a)  Consider the following proof of the claim:

1. Since f is continuous on A and A is path-connected, f (A) is path-connected subset of R.

2.  Therefore, f (A) is an interval.

3. Since f (a), f (b) e f (A) and f (a) < f (b), we also have [f (a), f (b)] S f (A).

4. Since c e [f (a), f (b)], there exists x e A such that f (x) = c.

This proof has a line which is completely unjustified. Identify the line which is missing justification.

口 Line 1                 口 Line 2                 口 Line 3                 口 Line 4

(6b) To justify this line, we must prove a statement about subsets of R.  Fill in the blanks to complete this statement:

If B S R is                                                         , then B is                                                         . (6c) Prove your statement from part (b).




















2022-05-28