1.  Consider the Solow-Swan model with the Cobb-Douglas aggregate production function, y = kα, constant savings rate s, depreciation rate δ, productivity growth g and population growth n.

(a)  Show that  f/ (k)  >  0,  f// (k)  <  0,  and the Inada conditions  limk二0f/ (k)  =  o and limk二o f/ (k) = 0 are satisfied.

limk二0α  = o given  → o as k → 0 .

limk二o α  = 0 given  → 0 as k → o.

(b) What are the steady-state values of k* , y*  and c* ? Show your workings.

k* = ╱ 、1/(1_α)

y* = ╱ 、α/(1_α)

c* = (1 - s) ╱ 、α/(1_α)

(c) Why is the steady state unique?

Correct answer requires discussion of single crossing given Inada conditions.

Now consider an economy with α = 0.3, saving rate s = 30%, population growth n = 3%, technology growth g = 2%, and depreciation δ = 10%.  Assume labour and capital are paid their marginal products and that the country is on its balanced growth path.

(d)  Solve for the numerical vales of k* , y*  and c* ? Show your workings. Using the numerical values provided,

k* s 2.69

y* s 1.35

c* s 0.95

(e) What is the growth rate of capital K˙ /K along the balanced growth path?

 =  +  = n + g = 3% + 2% = 5%

(f) What are the growth rates of wages w˙ /w and return to capital  ˙r/r?

w˙

(g)  Could the economy achieve a higher c* than for s = 30%? Why or why not?

Some discussion that golden rule is achieved when s = α = 0.3 in this case is required.

Now assume a meteorite destroys half the capital stock such that the new capital stock at t = 0 is k(0) = k* .

(h) What is the growth rate of capital K˙ /K at t = 0?

The economy has k(0) = 1.35 at t = 0 and so

k˙       sf (k) - (n + g + δ)k       (0.3)(1.35)0.3 - (0.03 + 0.02 + 0.1)(0.5)

k                     k                                                  1.35

Thus, the growth rate of capital at t = 0 is

K˙       k˙       A˙      L˙

K      k     A     L

(i) What are the growth rates of wages w˙ /w and return to capital  ˙r/r at t = 0?

At t = 0,  we  have k = 1.35,  f (k) s 1.09,  f/ (k) s 0.24,  f// (k) s -0.13 and k˙ s 0.13 . Thus, the growth rate of wages and return to  capital are

w˙

w r˙ r

= g +                        s 0.05 = 5%

f// (k)k˙ 

f/ (k) - δ

(j)  Compare the growth rates of capital, wages, and returns to capital before and after the meteorite hit.  What do the results predict about growth in an economy after a war in which a lot of the capital stock is destroyed?  Are the results consistent with what happened in, say, Japan after World War II?

Some discussion about how model predicts high growth along the transition path needed. Some  discussion  also  needed  about  how  this  is  broadly  consistent  with  what  happened in  the postwar years for  Japan.   Japan  grew faster  than  other  countries  that  had  less destruction of their capital stocks.  Once the transition was complete, Japan’s growth was no longer faster and real interest rates became quite low.

2.  Consider the Ramsey model with the Cobb-Douglas aggregate production function, y = kα . Suppose that capital income is taxed at a constant rate 0 < τ < 1 . This implies that the real interest rate that households face is now given by r(t) = (1 - τ )f/ (k(t)).  Assume that the government returns the revenue it collects from this tax through lump-sum transfers.  With the introduction of capital income tax, the only change in the model is the Euler equation, which implies the modified law of motion for consumption:

c˙      (1 - τ )f/ (k) - ρ - θg

=

c                      θ

(a)  Derive y*  and c*  as functions of the model parameters.

y* = ╱ 、α/(1_α)

c* = ╱ 、α/(1_α) - (n + g) ╱ 、1/(1_α)

(b) Find an expression for the saving rate s* = (y* - c* )/y*  on the balanced growth path.

s* = (n + g)k*1_α = (n + g) ╱ 、

(c)  Derive expressions for the elasticity of capital with respect to the capital income tax (∂ ln k* /∂ ln τ ) and the elasticity of saving rate with respect to the capital income tax (∂ ln s* /∂ ln τ ).

ln s* = ln(n + g) + ln(1 - τ ) + ln α - ln(ρ + θg)

÷

∂ ln s*               τ   

∂ ln τ         1 - τ

ln k* =  (ln(1 - τ ) + ln α - ln(ρ + θg))

∂ ln k*                      τ          

∂ ln τ          (1 - α)(1 - τ )

ln s* = ln(n + g) + ln(1 - τ ) + ln α - ln(ρ + θg)

∂ ln s*               τ   

∂ ln τ         1 - τ

Now consider the specific numerical values α = 0.3, the discount rate ρ = 2%, population growth n = 2%, technology growth g = 2%, the coefficient of relative risk aversion θ = 3. Assume initially that the economy is in steady state with no capital taxation, i.e. τ = 0%.

(d)  Determine the numerical values of y*  and c*  and s*  in the steady state. Using the numerical values provided,

k*         s 6.61

y*         s 1.76

c*         s 1.50

s*         = 0.15

(e)  Suppose that the government increases the capital income tax to τ = 20% and that this change in tax policy is unanticipated.  Compute the new steady-state values of y*  and c*  and s* . How does the new steady state compare to the situation without taxation?

With the introduction of capital income tax, the new steady-state values become

k*         s 4.80

y*         s 1.60

c*         s 1.41

s*         = 0.12

The introduction of capital income tax reduced households’ incentive to save  and so the steady-state values of k* , y* , c*  and s*  are lower in the new steady state.