Exercise 1. Complete the following problem taken from Ch 16, Simon & Blume.

Exercise 2. Complete the following problem taken from Ch 16, Simon & Blume.

Exercise 3.  Assume that F : Rm ¡! R is differentiable. A critical point is defined to be any x  2 Rm such that rF(x ) = (0; :::; 0). Now complete the following exercises, also drawn from Simon & Blume text.

1) For each of the following functions on R2  find the critical points and classify them as local max, local min or others.

a) F (x ; y) = x4 +x2 ¡6xy + 3 y2   b) F (x ; y) = x2 ¡6xy + 2 y2 + 10x + 2 y ¡ 5

c) F (x ; y) = xy2 + x3 y ¡ xy         d) F (x ; y) = 3x4 + 3 x2 y ¡ y3

2) For each of the functions defined on R3, find the critical points and classify them as local max, local min or others.

a) x2 + 6xy + y2 ¡ 3z +4 z2 ¡ 10x ¡ 5 y ¡ 21 z

b) (x2 + 2 y2 + 3z2)e¡ (x2 +y2 +z2)

Exercise 4.  Go to Section 2.1 (Price Discriminating Multiproduct Monopoly) in Lec 10 notes. Complete the two missing steps I alluded to in class, posted as parts 1 and

2 below.  In the optimal menus offered by the Monopolist,

1) Show that if the low type is willing to  participate (IR1 holds)  and the high type does not want to pretend to be the low type  (IC2 holds), then IR2 holds, i.e. high type is willing to participate.