1.   Find the commodity bundle (x1*, x2*) that maximizes the utility function u(x1 , x2 ) x1x2

subject to the budget constraint x1 4x2 16 . Even though it’s fairly meaningless, find the maximum value of u and the value of the Lagrange multiplier, λ .

L x1x2 x1 4x2 16

L x1 4x2 16 0

x2

x1 4

x1 4x2 16

4 4 16

* 2; x1* 4 2 8; x2 * 2; u 8, 4 84 32

2.   Find the commodity bundle (x*, m*) that maximizes the utility function

1

u(x, m) 12x2 m subject to the budget constraint 2x m 24 . Even though it’s fairly meaningless, find the maximum value of u and the value of the Lagrange multiplier, λ .

L 12x2 m 2x m 24

FOC:

1

L 6x 2 2 0 x

Lm 1 0 * 1

L 2x m 24 0

x* 9; m* 24 2 9 6;

2x m 24

u 9, 6 12 9 6 42

3.   Find the commodity bundle (x1*, x2*) that maximizes the utility function

1            1

u(x1 , x2 ) x x subject to the budget constraint 3x1 5x2 60 . Even though it’s fairly meaningless, find the maximum value of u and the value ofthe Lagrange          multiplier, λ .

L x x 3x1 5x2 60

FOC:

1

1                1

1

L 3x1 5x2 60 0

1

1       362

1

2        1002

3x1 5x2 60

1                 1

36              100

25

1

1                   1

u 2 2

4.   Find the general expression (in terms of all the parameters) for the commodity bundle which maximizes the Cobb-Douglas utility function u(x1 , x2 ) xx subject to the   budget constraint p1x1 p2x2 Y . (Hint: you may find it easier to work with a            transformation of u(x1, x2).)

I recommend working this with the transformation of v(u) = ln(u). Just to demonstrate     different algebra, I’ll work it without the transformation. The optimal commodity bundle is the same.

L p1x1 p2x2 Y

FOC:

L1 x 1xp1 0 1         2

p1

L2 1 p2 0 L p1x1 p2x2 Y 0

1 xx2 p2

p1x1 p2x2 Y

1 xx2

p1 p2

x2 1 x1

p1 p2

1 p1x1

2

p2

p1x1 p2 1 p1x1 Y

x1* Y , x2 1 p1 1 Y

p1 p2 p2

5.   By solving the Lagrangean conditions, identify six stationary points ofthe function

f (x1 , x2 ) xx2   subject to the constraint 2x x 3 . Which of these gives the highest

value off(x1, x2), and which gives the lowest value? (x1 and x2 can take on negative values. This problem is a lot longer than the previous ones.)

x1 ,x2        1    2                           1           2

L x x 2 2x x 3

L 2x1x2 4x1 0               (eq 1)

L x 2x2 0                   (eq 2)

2x x 3                               (eq 3)

We'll solve this using cases.

First simplify (eq 1):

1                           2

1                       2

1

Substitute x1  into (eq 3):

2(0)2 x 3

x2 3

x 3

Ifx2 3: Substitute x1  and x2  into (eq 2):

(0)2 2 3 0

0

Our first solution: x1 0,x2 3, 0

f 0,   3 (0)2 3 0

Ifx2 3: Substitute x1  and x2   into (eq 2):

(0)2 2 3 0

0

Our second solution: x1 0, x2 3, 0

f 0, 3 (0)2 3 0