Tutorial 09: ARMA models

1    Assessment task

This section of the assignment is assessable. It is worth 20% of your final mark for the course. All questions about this assignment must be asked on the Ed discussion forum.

The assignment asks you to identify the values of P and Q for the causal and invertibleARMA(P, Q)

model that best characterises the autocorrelation structure of 5 different data series.

When identifying the ARMA models, start with the ACF AND PACF for the raw data.  As required, also consider the statistical significance of AR and MA coefficients when you fit

ARMA(P, Q) models. Finally analyse the residuals of the fitted model, making sure they have minimal remaining serial correlation.

If you choose to use AIC or BIC information criteria to select your model, be very careful not to over-parameterise the model. These criteria, and automated model selection strategies based upon them have a strong tendency to overstate P and/or Q.

This week the all of the datasets (there are 300 of them) are files in the same zip file as the starting point R script that you are to use. Each of the data sets is an xts variable contained in its own R data file (a file with an ‘.rds” extension). Your assignment involves analysing one of those datasets. The number of the data file that you are to analyse is listed beside your name in the tutorial resources page on Canvas.

Your dataset will consist of 5 time-series, named series1, series2, series3, series4, and series5. Download the zip file containing all of the possible data files and the starting point R script for the assignment and extract the contents of the zip file into the folder where you want to do your work.

Make sure thatfolder containing the data files and your R script is your working directory in R Studio.

Edit the starting point R script that you can download from Canvas to ensure it is loading and analysing the data in the dataset that has been assigned to you. By default it has been written to load the non-existent data set 301 as a demonstration. That is the wrong file for you to use. Modify the data file number appropriately so you are analysing the right data.

Add code to determine your answers to the Canvas quiz questions for Tutorial 09. Your assess- ment will be marked based upon those quiz answers and your final R script. The R script needs to include the code and comments necessary to demonstrate how your reached your conclusions. Make sure you upload your final script, including all of your working.  If you do not upload your final script, your assessment score will be zero.

2    Model identification and LR tests

This section of the assignment is not assessable. Do the assessable part of the assignment first.

1. You are given the following ARMA model:

(1 − 0 ·2L)(1 +0 · 3L)xt = (1 +0 · 3L)et

(a) Is it over-parameterised? If so, why?

(b) What is the order of the simplified ARMA model, after fixing over-parameterisation?

(c) Is the model stationary?

(d) Is the model causal?

Is the model invertible?

(f) What features would the ACF have, given enough data?

(g) What features would the PACF have, given enough data?

2. You are given the following ARMA model:

xt = −0 ·4xt − 1 +et +0 ·7et − 1 +0 · 12et −2

(a) Is it over-parameterised? If so, why?

(b) What is the order of the simplified ARMA model, after fixing the over-parameterisation problem?

(c) Is the model stationary?

Is the model causal?

Is the model invertible?

(f) What features would the ACF have, given enough data?

(g) What features would the PACF have, given enough data?

3. With 255 observations, you have used Maximum Likelihood Estimation (MLE) on the following ARMA(1,2) model, producing a maximum log likelihood function value LLFu = −377 ·9301:

xt = w1xt − 1 + et + 91et − 1 + 92et −2

With the same data, you have used Maximum Likelihood Estimation (MLE) on the fol- lowing restricted MA(1) model, producing a maximum log likelihood function value

LLFr = −378 · 1358:

xt = et + 91et − 1

Perform the Likelihood Ratio (LR) test of the restrictions at the 5% level of signifi- cance, carefully setting out all steps.  Express your conclusion in terms of model over- parameterisation.