Lazear and Rosen (1981) JPE

Rank-order tournament within a working environment:  idea - performance affects rank, rank determines payoff.

Assumptions:

❼ not winner-take-all: multiple prizes distributed according to winning rank

❼ margin of winning does not matter;

❼ two-player model

❼ general convex cost C(x) of effort: C′ (x) > 0, C′′ (x) > 0 - note that this includes the linear cost case

(in which C′′ (x) = 0).

❼ distinction between effort and performance: qi  = µi + ∈i , i = 1, 2.

❼ Note:  having additive noise (randomness) is essential here - if performance were a deterministic in- creasing function qi (µi ) of effort, then qi  > qj  兮 µi  > µj .

❼ random luck components ∈i , ∈j  are i.i.d. with mean 0 and variance σ 2

0

εi,εj

μi

μj

qi,qj

❼ Note: it turns out that in the solution the distribution of ∈i - ∈j  is what matters. Recall: Var(∈i ) = E(∈i(2)) - [E(∈i )]2  = E(∈i(2)) = σ 2

E[∈i - ∈j ] = E(∈i ) - E(∈j ) = 0

and

Var[∈i - ∈j ] = E[(∈i - ∈j )2] - E[(∈i - ∈j )]2  = E[∈i(2) - 2∈i ∈j  + ∈j(2)] = = E[∈i(2)] - 2E(∈i )E(∈j ) + E[∈j(2)] = 2σ2

Solution approach: compare two cases

❼ piece rates (each workers is paid their marginal product)

❼ rank-order tournament: relative performance is observed and a fixed wage based on rank is awarded:

w1  > w2 .

❼ in both cases both output and labor markets are assumed competitive with free entry and exit, and

aggregate output is the sum of individual outputs (no complementarities in production, workers are perfect substitutes)

❼ Main result: The efficient solution under piece rates can be replicated with a rank-order tournament With piece rates r:

❼ individual expected utility is rµj  - C(µj )

❼ individual optimal effort solves r = C′ (µ* )

❼ the expected profit for the firm is (V - r)2µ*

❼ in competitive markets V = r

❼ therefore V = C′ (µ* ) - the social efficiency condition: the marginal social benefit of output µ*  equals

its marginal social cost. This result holds in equilibrium.

With rank-order tournaments r:

❼ given µj , player i’s probability to win with strategy µi  is:

P = Prob(µi + ∈i  > µj  + ∈j ) = Prob(∈j  - ∈i  < µi - µj ) = Prob(x < µi - µj ) = G(µi - µj )

where G(x) is the cumulative distribution function of x = ∈j  - ∈i

❼ Important note on additive noise:  if both players increase their effort by equal amounts, then their

probabilities of success are not affected

❼ Expected utility for player i is:

G(µi - µj )w1 + (1 - G(µi - µj ))w2 - C(µi )

❼ first-order condition (solves for the best response of player i:

G (µ′ i - µj )(w1 - w2 ) = C′ (µi )

❼ impose symmetric NE in pure strategies:

G (0)(w′ 1 - w2 ) = C′ (µ** )

❼ Expectet profit for the firm is

2µ** V - (w1 + w2 )

❼ in competitive markets set profit to 0:

w1 + w2

2

❼ What is the expected utility to each worker in equilibrium?

w1 + w2

2

❼ firms understand that this is the equilibrium utility of each worker, so to attract those workers they

will set wages in a way that equilibrium utility is maximized:

V = C′ (µ** )

❼ socially efficient outcome µ* = µ** .

Problem 1

Consider the following salary wage scheme:  if a worker’s productivity q = µ + ∈ is above a predetermined fixed standard , then the worker receives w1 . If her productivity falls below , then she receives w2  < w1 . Denote the cumulative ditribution function of ∈ by G(x) = Prob(∈ s x).  Both  and the two wages are chosen by the firm.  Using the same method as in Lazear and Rosen (1981), show that the pareto efficient outcome V = C (µ ) will be obtained in competitive markets with free entry and exit.  (µ′**  is the average productivity level chosen optimally by the worker and the effort cost function is convex). 

Problem 2

Consider a modification of the basic model in Lazear and Rosen (1981).  Suppose that there are two types of workers, a and b, such that Ca(′)(µ) < Cb(′)(µ) for any effort level µ. Let 0 < α < 1 be the fraction of type-a workers.  Suppose that each worker knows her own type, but does now know the type of her colleague (we still assume two workers in each firm). Similarly, the firms do not know the type of their workers. All other assumptions carry on from the basic model.  Show that as long as α   and as long as the distribution of ∈i - ∈j  is not uniform, then no matter how firms select w1  and w2 , the rank-order tournament outcome willl be inefficient, i.e.  V  C′ (µi(*)) for at least one type of agent i = a or i = b.  Note:  you should assume a symmetric equilibrium in which all type-a workers chose µa(*)  and all type-b workers select µb(*). You can also use wihout proof that the distribution of ∈i  - ∈j  is symmetric.  (Hint:  this is solved in Lazear and Rosen (1981)).