1.   (a)  It can be said that the world is evolving both reversibly and irreversibly. Explain the meaning behind these ideas and how

they can be compatible with one another.                                     [4] (b)  Explain how the evolution of the world may be characterised

by the growth of Boltzmann entropy. A decrease in Boltzmann        entropy is considered to be possible but improbable. Why?        [4]

(c)  Discuss how stochastic entropy production may be regarded        as a measure of the apparent irreversibility of the mechanical        behaviour of physical systems.                                                      [3]

(d) A physical property of a system is described as ontic when        it exists independent of the knowledge possessed by an ob-        server about the system. Is entropy ontic? Why?                        [3]

(e) Two point particles of mass m occupy a 3d box of volume V,

and interact with one another through an infinite square well potential that requires them to lie no more than a distance a apart.  They are in canonical equilibrium with a heat bath at temperature T.

Show that the entropy of the system may be written

S = 3k + k ln (V/v) and give an expression for v. (In order to        simplify the integration limits you may assume that a3  冬 V).      [6]

2.   (a) The evolution of a quantum system coupled to a heat bath may be described using stochastic differential equations (SDEs) for variables x and y :

dx = 2(1 - x2 ) d W

dy = -2y dt - 2xy dW.

Derive an SDE for the quantity P  =  x2  + y2  and show that

dP = 0 when P = 1.                                                                        [4]

(b) Writing x = P  cos a and y = P  sin a, show that the SDE for the quantity a = tan一1 (y/x), for the particular case when P = 1,

is

[6]

da = - sin 2a dt - 2 sin a dW.

(c)  For small a, show that this reduces to geometric Brownian mo- tion and by considering ln a, obtain a(t) in this approximation.

Comment on the evolution of a as t → o.                                    [4]

(d)  For slightly different dynamics, the evolution of the quantum system is governed instead by the SDE

da = ╱ 1 - c2 sin 2a、dt - 2c sin a dW,

where c is a constant.  Write down the Fokker-Planck equa-

tion for the probability density function p(a, t) for this case, and

derive the probability current j(a, t).                                               [3]

(e)  For small c, show that the stationary probability density func- tion for the dynamics in part (d) is given by

pst (a) x 1 + c2 g(a),

and identify the function g(a).                                                        [3]

3. A reckless professor has built a time machine but hasn’t quite mas- tered its operation.  Upon activation the machine will take him one day into the future with probability 1/3, two days into the future with probability 1/6, one day into the past with probability 1/3 or two days into the past with probability 1/6.

(a)  Determine the probability distribution for the time shift m ex-        perienced by the professor after activating the machine twice,        and show that the mean and standard deviation of the time        shift are zero and two days, respectively.                                      [4]

(b) The professor’s birthday is four days away (in the future!) and

he is so excited he cannot wait. Calculate the probability that        he can reach his birthday by activating the machine no more        than three times.                                                                             [2]

(c) Write down a master equation (in the form of a map) that de- scribes the evolution of the probability Pn (m) that after n acti- vations of the time machine the professor has experienced a

time shift of m days.                                                                        [2]

(d)  Use the master equation together with initial condition P0 (m) =

6m0 to show that the characteristic function

&

Gn (k) =          Pn (m)eikm

=一&

is given by C ╱cos k +  cos 2k、n with C = (2/3)n .                        [3]

(e)  By considering dGn /dk and d2 Gn /dk2 , evaluated at k  =  0,

compute the variance of m for arbitrary n.                                    [4]