Problem  1.    Let (Ω ; F; {Ft }t0 ; P) be some probability space and {Wt }t0  and {Wˆt }t0  be two (P; {Ft }t0)-Brownian motions, where EP [(Wt − Ws )(Wˆt − Wˆs )] = (t − s) for some  ∈ (0; 1).

(a)  [8 points] [SS]  Let {Yt }t0  and {Zt }t0  be Ito processes governed by

Yt  = Y0  +  as ds +  bs dWs ;     and     Zt  = Z0  +  cs ds +  ds dWˆs :

If  St    =  sin(t) + Yt2  + exp(Zt )  for  all  t  ≥  0,  governed  by  the  stochastic differential equation  dSt   = Kt dt + Lt dWt  + Nt dWˆt , what are Kt , Lt  and Nt  in terms of Yt , Zt , at , bt , ct  and dt  for all t ≥ 0?

(b)  [8 points] [S]

From above, if Xt  = Yt Zt  for all t ≥ 0 such that  dXt  =  t dt + t dMt , where {Mt }t0  is a (P; {Ft }t0)-Brownian motion, what are  t  and t  in terms of Yt , Zt , at , bt , ct  and dt  for all t ≥ 0?

(c)  [9 points] [SS]

Define {Pt }0t<   by Pt   = sin(Wt )= cos(Wt ), where   = inf{t  ≥ 0  :  |Wt | = }.  Show that the following holds:

Pt  =  Ps (1 + P ) ds +s(2) (1 + Ps(2)) dWs :

Problem 2.

(a)  [8 points] [SS]

Let (Ω ; F; {Ft }t0 ; P) be some probability space and {Wt }t0 be a (P; {Ft }t0)- Brownian motion. For a finite  > 0, let {Ft }t0 , {Gt }t0  and {Ht }t0  be

Ft  = cosh(Wt ) exp ( )

Gt  =  + Wt3  − 3tWt  + Wt2  − t

Ht  =  Wt

for all t ≥ 0, respectively. For each above, prove whether it is a (P; {Ft }t0)- martingale or not.

(b)  [8 points] [S]

Let  {Bt }t0   given by Bt   = ert   model the money-market account for some finite r ≥ 0 and let {Zt }t0  be governed by  dZt  = −t Zt dWt  where {t }t0 is the market price of risk.  What is the stochastic differential equation of {t }t0   given by t   =  Zt =Bt ?   Also,  prove that  {t }t0   is  a  (P; {Ft }t0)- supermartingale.

(c)  [9 points] [U]

Let   0 be some finite constant an {Et }0t<  be governed by the following:

Et  =  +  Es(3) ds −  Es(2) dWs ;     E0  = :

Provide an explicit solution to the stochastic integral above – that is, what is the function f  if the solution is Et   = f (t; Wt ).   Based on this solution, what should be the definition of  in terms of Wt  and ?

Problem 3.   Let (Ω ; F; {Ft }t0 ; P) be some probability space and {Wt }t0  be a (P; {Ft }t0)-Brownian motion.  Let {Bt }t0  governed by  dBt  = rBt dt model the money-market account, where B0  = 1 and r > 0 is finite. Let {Xt }t0  model asset price dynamics where  dXt  = Xt dt + Xt dWt  for some finite constants   ∈ R and  > 0 with X0  = x.

(a)  [8 points] [S]

Prove that {Zt }t0  defined by

Zt  =  exp ( −  2 t − Wt )

is a (P; {Ft }t0)-martingale if  = ( − r)= .

(b)  [8 points] [SS]

Define the risk-neutral probability measure Q as follows:

  FT   = exp ( −  2 T − WT ) :

For  some    >  0  and  K  ≥  0,  derive  the  following  option  price:   V0    = e  rTEQ [(X − K)+].  (Hint: These are called power options)

(c)  [9 points] [SS]

Now define the probability measure U as follows:

dU              XT

dQ FT             xBT

Show that for any 0 ≤ s ≤ t ≤ T , the following holds:

EU  [    Fs] =