Section A 

Question 1

Q1.1.  Consider the following model:

yt  = u + xt + zt

xt  = "t + 9"t_1

zt  = βzt_1 + ut ;

where "t is an independent and identically distributed (i.i.d.) process with mean zero and variance 72 ; and ut  is also an i.i.d. process with mean zero and variance o2 : In addition, "t  and ut  are independent of each other.

(a.) What is the process for yt ?

[25 marks]

(b.)  Give conditions to ensure yt  is covariance stationary and invertible.

[25 marks]

Q1.2.  Consider two time series x and y: Using what you learnt from the lecture notes:

(a.)  State the conditions for the cointegration between x and y .

[25 marks]

(b.) Describe the steps to follow for Engle-Granger cointegration test.

[25 marks]

Question 2

(a.)  Suppose we have estimated the following AR(2) model

Xt  = 23:4 + 0:6Xt_1 - 0:2Xt_2 + ut ;

where ut  is a white noise with mean zero and variance 1.  In the data set, XT _1 = 50 and XT  = 40. 

Compute the forecast of X two periods ahead: X^T+2lT .

[25 marks]

(b.) For the model in part (a), compute the limit of the forecast X^T+hlT  as h approaches

inÖnity:  lim X^T+hlT :

二o

[25 marks]

(c.)  Consider a random variable Y: Assume that using a given forecasting method, the

forecast errors produced for 3 observations are -1, -2, and -6.  Compute the Mean absolute error of the forecast of Y .

[25 marks]

(d.)  Consider the following MA(1) model:

xt  = 0:1 + ut + 0:5ut_1 ;

where ut  is a white noise with zero mean and variance equal to 1.  Compute the point forecast of xt+h, say t+hlt ; for h  2 2; and the variance of the associated forecast error.

[25 marks]

Section B (It counts for 40% of the total mark)    (Answer one and only one question from Section B)

Question 3

Consider the following model:

yt  = ( 1 - 0:6L - 0:16L2 )xt + et ;                                        (1)

where et  are independent and identically distributed N(0;7 e(2)) and xt    is an exogenous variable.

(a.)  Classify the process in (1) and determine if it is stable.

[20 marks] 

(b.)  Calculate the multiplier impact or the short-run multiplier, m0 .

[20 marks]

(c.)  Compute the impact on the endogenous variable at time t (yt ) of a unit change in the exogenous variable at time t - 2 (xt_2 ).

[20 marks]

(d.)  Calculate the total multiplier or the long-run multiplier, mT .

[20 marks]

(e.)  Calculate the mean and median lags.

[20 marks]

Question 4

Consider now the following trivariate (=three dimensional) VAR(1) model:

wt  = u + ●wt_1 + "t     t = 1; 2;:::;T

with wt  = (xt ;yt ;zt )/  and "t  ～ i:i:d: N(0; Q):

It is also known that each of the variables xt ; yt ; zt  has at most one unit root.

(a.)  Suppose that the Johansen testing procedure suggests that there are two cointe- grating relationships (r = 2). What would this imply for the eigenvalues of ●?

[35 marks]

(b.) What would be the number of common trends if there are two cointegrating rela- tionships?

[30 marks]

(c.) How would you identify these two cointegrating relationships?

[35 marks]

Section C

Question 5

(a.) Assume that the error term of a static regression model follows a GARCH(1,1)

process. Derive the 2-step ahead forecast of the conditional variance of the errors. [30 marks]

(b.) Now assume that the error term of a static regression model follows an ARCH(1)

process. Derive the 2-step ahead forecast of the conditional variance of the errors. [30 marks]

(c.) Assume that the error term of a static regression model follows a stable ARCH(1)

process. What is the long-run forecast of the conditional variance of the errors?    [40 marks]