[3]         1.   Find the derivative directly from the definition for the function f (x) = . You must use

the definition, not some other method.

solution:

lim  _  = lim  

_h             

h→0 h(x + h + 2)(x + 2)

= lim            _1            

= (x + 2)2

[6]         2.   Find the derivative of each function.

a)   f (x) = sin(ln(x2 ))

solution:   cos(ln(x2 )) .  . (2x)

b)   g(t) = tln(t)

solution:   First ln(g) = ln ╱tln(t)、= ln(t) ln(t) = (ln(t))2 .

 ln(g) =  (ln(t))2

g/                            1

g                  t

g/ (t) = g(t) . 2 ln(t) . 

g/ (t) = tln(t)

[3]         3.   Estimate the value of f (0.1) using a linearization of f (x) = tan(x) + 1. Choose the point a of

the linearization appropriately.

solution:   Choose a = 0 because tan(0) is known and 0.1 ≈ 0.

Then f/ (x) = sec2 (x), so f (0) = 1 and f/ (0) = 1.

Then L(x) = f (a) + (x _ a)f/ (a) = 1 + (x _ 0)1 = 1 + x, so f (0.1) ≈ L(0.1) = 1.1.

[3]         4.   Show that  ╱  3 xà    dt  +    tan(2) − / x tan(t) dt\ is zero.

solution:

 ╱x2、/ _ tan ╱tan_1 x、. ╱tan_1 x、/  =  . 2x _ x .  =  _  = 0

5.   Consider the curve defined by y + xey  = x2 .

dy

solution:

 (y + xey ) =  ╱x2、

y/ + (ey + xey y/ ) = 2x

y/ (1 + xey ) = 2x _ ey

2x _ ey

y/  =

b)   Find all values of x such that the point (x, 0) is on the curve defined by the above equation. For each of these give the slope of the tangent line to the curve at that point.

solution:   If y = 0 then

(0) + xe( 0) = x2

x2 _ x = 0

x(x _ 1) = 0

So x = 0 or x = 1. We have the points (0, 0) and (1, 0).

At x = 0 the slope is y/  =  = _1

At x = 1 the slope is y/  =  = 

6.   Find each of the limits.

1 _ ex_3

x→3|   (x _ 3)2

solution:   This limit is indeterminate of the form 0/0. Apply l’Hospital’s rule.

lim  1 _ ex_3  _(0)  lim   _ex_3  

The numerator tends to _1 and the denominator tends to 0+ . The limit is +&.

b)   lim(x2 + 1)1/x x→0

solution:    This limit is indeterminate of the form 1o .  We start with ln(x2  + 1)1/x  = (1/x) ln(x2 + 1)

lim(1/x) ln(x2 + 1) = lim ln(x2 + 1) _(0) lim 1/(x2 + 1) . (2x) = lim    2x   = 0

The limit is e0  = 1.

[4]         7.   A ladder of length 2m is leaning against wall. The top of the ladder slides vertically down the

wall while the bottom slides horizontally directly away from the wall.

When the bottom of the ladder is 1m from the wall and moving at 0.1m/s, how fast is the top of the ladder falling?

solution:    Let x be the distance from the bottom of the ladder to the wall, y the distance from the top of the ladder to the ground. Each of x, y is a function of time t.

So we have x2 + y2  = 22  = 4. Differentiating with respect to time t, we get  in terms of  .

dx          dy

dt         dt

dy          x dx

=    _

dt         y dt

When x = 1 we have y = ′22 _ x2  = ′4 _ 1 = ′3.

dy           1                   1

dt         ′3                ′3

[6]         8.   Evaluate each integral.

a)        xex dx

solution:   By parts

u = x  du = dx

This gives

(x)(ex ) _

dv = ex dx

v = ex

ex dx = xex _ ex + C

solution:

(ln(x))2 dx = x(ln(x))2 _

x2 ln(x)/x dx

= x(ln(x))2 _ 2     ln(x) dx

= x(ln(x))2 _ 2 ╱x ln(x) _

= x(ln(x))2 _ 2 ╱x ln(x) _

(1/x)(x) dx、

、

= x(ln(x))2 _ 2 (x ln(x) _ x) + C

= x(ln(x))2 _ 2x ln(x) + 2x + C

[6]         9.   Evaluate each integral.

4

a)                                 dx

solution:   Partial fractions

 =  +  + 

4 = A(x + 1)(x _ 1) + B(x _ 1) + C(x + 1)2

setting x = 1 gives 4 = 4C so C = 1. setting x = _1 gives 4 = _2B so B = _2. setting x = 0 gives 4 = _A _ B + C so A = _1.

 dx =      ╱  +  + 、  dx = _ ln |x + 1| +  + ln |x _ 1| + C

b)                    x            dx

╱ (x + 2)2  _ 1

solution:   We see the trig substitution x + 2 = sec θ, so dx = sec θ tan θ dθ .

x

╱ (x + 2)2 _ 1

dx =

=

 sec θ tan θ dθ

sec θ _ 2

tan θ

=     (sec θ _ 2) sec θ dθ

=     sec2 θ _ 2 sec θ dθ

= tan θ _ 2 ln(sec θ + tan θ) + C

A triangle with hypoteneuse x + 2 and adjacent side  1 has sec θ = x + 2.  the opposite side is then╱ (x + 2)2 _ 1 and we see that tan θ = ╱ (x + 2)2 _ 1.

x            dx = ╱ (x + 2)2  _ 1 _ 2 ln │(x + 2) +╱ (x + 2)2  _ 1 │ + C

╱ (x + 2)2  _ 1                                                  │                                          │

[8]       10.   Evaluate each integral.

a)

dx

0    e2x + 5ex + 6

solution:   Substitution with z = e , dzx  = ex dx. Change the boundary values x = 0 s z = 1, x = 1 s z = e

1         ex                                  e         1        

0    e2x + 5ex + 6            1    z2 + 5z + 6

Partial fractions.

1                         1                   A           B

=                         =           +         

1 = A(z + 3) + B(z + 2)

setting z = _3 gives B = _1. setting z = _2 gives A = 1.

e              1                      e       1          _1

dz =                +          dz

= (ln |z + 2| _ ln |z + 3|) |1(e)

= (ln(e + 2) _ ln(e + 3)) _ (ln(3) _ ln(4))

b)

dx

0         cos2   x

solution:   Substitution with z = tan x ,  dz = sec  x dx = (1/ cos  x) dx.  Changing the22  boundaries x = 0 _→ z = tan(0) = 0 and x = π/4 _→ z = tan(π/4) = 1

π/4  etan x                      1

0         cos2 x            0       = ez  |0(1)  = e _ 1

3

[4]       11.   We wish to evaluate       ln(x) dx numerically.

2

3

a)   Give an expression for the Riemann sum for       ln(x) dx using n = 3 rectangles and the

2

right-hand rule. You do not need to evaluate your expression numerically.

solution:   (ln(7/3) + ln(8/3) + ln(9/3)) (1/3)

b

b)   The difference between       f (x) dx and the approximation using Simpson’s method with

a

K(b _ a)5

Give an expression for the value of n required so that Simpsons’s method applied to

3

ln(x) dx is accurate to within 0.00001. You do not need to compute Simpson’s method,

2

nor evaluate your expression numerically. An expression for n suffices.

solution:   First:

f/ (x) = x_1                   f// (x) = _x_2                   f/// (x) = 2x_3                   f//// (x) = _6x_4

Now |f//// (x)| is decreasing with x, so its maximum on [2, 3] is at x = 2. So we may choose K = |f//// (2)| = 6/16 = 3/8. This gives the bound on n.

K(b _ a)5

< 0.00001

180n4

n4  >    K(b _ a)5     

We need to choose n at least this big, and even.

[5]       12.   Consider the following function, and its derivatives.

e_x

3

e_x (x2 + 4x + 6)

x4

a)   Identify all horizontal and vertical asymptotes.

solution:

lim   e_x  _(o)  lim   _e_x  _(o)  lim   e_x  = +&

solution:   The critical points are x = _2 and x = 0.

x  (_&, _2)   _2   (_2, 0)   0   (0, &)

f/             _          0        +       !       _

f        ↘         →       ↗              ↘

the function is increasing on (_2, 0) and decreasing on (_&, _2) U (0, &).  There is a local minimum at x = _2.  There is no a local maximum at x = 0 because it is not in the domain of f .

c)   Determine where it is concave up and where it is concave down.  Identify all inflection points.

solution:   The critical points are x = 0.  note that x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 is never zero.

x  (_2, 0)   0   (0, &)

f//          +       !       +

f      ○               ○

the function is concave up on (_infty, 0) U (0, &). There is no inflection point.

d)   Sketch the function, labelling the extrema, inflection points, asymptotes and the inter- cepts.

solution:     Here it is. The asymptotes and the local minimum are in green. There are no intercepts.

[+4]       13.    (bonus) Consider a rectangle of dimensions 2x x x and a square of dimensions y x y .

If the sum of the perimeters of the rectangle and the square is λ, find the value of x and y (in terms of λ) that minimize the sum of the areas of the rectangle and the square.

solution:   We have 6x + 4y = λ. The area is A = 2x2 + y2 .  Substituting we get the area in terms of x.

A = 2x2 + ╱ 、2  = 2x2 +  ╱λ2 _ 12λx + 36x2、= x2 _ λx + λ2

Then we get the derivative.

dA      34        3

dx       4        4