This week we take a break from R, to focus on the skills needed to solve small-scale portfolio optimisation problems using Microsoft Excel and its numerical optimiser.  This will be very helpful to you in the mid-semester exam.

The answers that you need to enter into the Canvas quiz this week are based upon Excel analysis. Use the example Excel spreadsheet from lecture 03 to get a start on how to do this week’s Excel exercises. It is going to develop the skills you need to do the first half of the mid-semester exam.

1    Matrix multiplication for portfolio variances

This part of the assignment is preparation with the mathematics we exploit in the tutorial. Before attending the tutorial do this algebra and then check your solution against the solution provided below.

Also consider working through the first few questions in the practice quiz on Canvas if these matrix operations are not very familiar. That way the tutorial can focus on the applied portfolio optimisation questions.

This is a very full tutorial so you will want to prepare well to give your tutors an opportunity to focus on the content that is most relevant to course assessments.

1. Do the following matrix multiplication by hand as part of becoming familiar with the translation of individual asset return properties into the portfolio expected returns and the portfolio return variance.

An investor has access to two risky assets, 1 and 2. The investor forms a portfolio using the two assets with weights given by the 2 by 1 column vector:

w = ┌   ┐w(w)2(1)

The variance-covariance matrix for the two asset returns is:

V = ┌扌12(扌21)    扌22(扌12)┐

where 扌12 is the covariance in the rates of return on assets 1 and 2.

(a) Using algebra, perform the matrix multiplication needed to express the variance of the portfolio return, Var(rp) = wJVw, without matrix notation.

(b) If the correlation (扌12/(扌1扌2)) between the two asset returns is equal to zero, are there risk minimisation benefits to diversification (not putting all of the investment in a single asset?

(c) What about if the correlation is 0.9?

What about if the correlation is -0.9?

Solution: For the portfolio of two risky assets, the variance of the portfolio return, Var(rp) can be expressed without matrix notation as:

Var(rp ) = wJVw = ┌w1    w2 ┐ ┌扌12(扌21)    扌22(扌12)┐ ┌   ┐w(w)2(1)

= ┌ (w1扌1(2) +w2扌12 )   (w1扌12 +w2扌2(2))┐ ┌   ┐w(w)2(1)

= w1(2)扌1(2) + w2(2)扌2(2) +2w1w2扌12

To assess the benefits to diversification, we need to substitute out w2 using the full in- vestment constraint w1 + w2 = 1 and then minimise this variance with respect to w1 by

solving the first order condition for w1 .

The objective function becomes:

Var( p) =r wJVw = w1(2)扌1(2) +(1 | w1 )2扌2(2) +2(w1 | w1(2))扌12

The first order condition is:

dw1       = 2w1扌1(2) | 2(1 | w1 )扌2(2) +2(1 | 2w1 )扌12 = 0

Recognising that this is a quadratic function and so has a global minimum (or checking the second order condition for a minimum), we can solving for optimal weight on asset 1, w 1(ì), gives:

2

w 1(ì) =    2 扌2 | 扌12      

This optimal weight is not zero or 1 for any of the three covariance values (-0.9, 0, or 0.9), confirming that there are benefits to diversification for the zero correlation case and the cases of strong positive correlation and strong negative correlation.

To develop your intuition, try experimenting with this formula in a spreadsheet for differ- ent values in the V matrix describing the variances and covariances for the two individual asset returns. The first worksheet of the Excel file distributed with the lecture is a great place to do this experimentation.

Applied portfolio optimisation problems

These problems should be done in Microsoft Excel. Use the examples in the spreadsheet dis- tributed with the lecture as models for doing your own portfolio optimisations.

Enter your numeric answers to this part of the assignment in the Canvas quiz.

To complete this part of the tutorial, you will need to use Excel.

Data for the various questions:

! The risk-free simple rate of return is 2%

! The expected simple rate of return on risky asset A is 0.05 (5%).

! The expected simple rate of return on risky asset B is 0.04 (4%).

! The expected simple rate of return on risky asset C is 0.07 (7%).

! The variance-covariance matrix of risky asset rates of return is (ordering rows and columns

as A, B, C):

╱        0!032

V =  ． 0!5 K 0!03 K 0!04

．           0

0!5 K 0!03 K 0!04

0!042

0

0   、 0    │

0! 102．

! The investor’s expected utility is given by:

E(U) = E(rp) | 0!5 K 40扌p(2)

1. If the investor can only invest in assets A and B, what is the minimum portfolio rate of return standard deviation that can be achieved in the investor’s fully-invested portfolio? Use the Excel solver (and check your calculations using the analytic solution to the first question in this assignment).

2. If the investor can invest in all of the risky assets but not the risk-free asset, what is the minimum return standard deviation (as a percentage) that can be achieved in the investor’s portfolio while also having an expected return of 10%? Solve using the Excel solver. To solve it by hand, you would need to solve the two constraints for wB  and wC in terms of wA and then uses these equations to express the expected utility function in terms of wA . This would be possible to do, but the algebra would be easy to get wrong.

3. If the investor can only invest in the risky assets A and B, find the portfolio weights that maximise expected utility and use them to determine the expected return of the portfolio that maximises the investor’s expected utility? Use the Excel solver.