1.   (a)  Give an example of a non-abelian group G with a proper non-trivial normal subgroup H .

(b) Prove that if H is a subgroup of a group G and |G/H| = 2 then H is normal in G.

(c)  Give an example of a group G and a subgroup H such that |G/H| = 3 and H is not normal in G.

(d) Let G be a non-abelian group of order 125. Find Z(G) and the quotient group G/Z(G).

(e) Prove that if G is a group of odd order and H is a subgroup with |G/H| = 3 then H is normal in G.

2.   (a) Let p > 2 be prime. Describe all groups of order p.

(b)  Give two examples of non-isomorphic groups of order p2 , explaining clearly why they are non-isomorphic.

(c) For which pairs of primes p > q is there a unique group of order pq?

(d)  Classify all groups of order 4907 explaining clearly all steps of your argument.

3.   (a) Let G be a group of order 24. List all possible orders of the subgroups of G.  (b) Using Sylow’s theorem decide what are the possible values of n2  and n3  for G?

(c)  Classify all groups of order 24 with n2  = 1 and n3  = 1.

(d) Using results from the course try to classify groups of order 24 with n2  > 1. [Write no more than three pages.]

4.   (a) Prove that p(x) = x3 + 9x2 + 18x + 13 is irreducible over Q.

(b) Factorise x24 - 1 into monic irreducibles over Q, explaining carefully why each factor is irreducible.

(c) Identify all possible isomorphisms between the following quotient rings: F5 [x]/(x2 + x + 1),    F5 [x]/(x2 + x + 2),    F5 [x]/(x2 + x + 3).