Question 1                                                                                                          [50 Marks] The dataset “fat” (available to download from Wattle) contains estimates of the per- centage of adipose tissue (body.fat) and other related measurements taken on a sample of 252 adult men.  The measurements include a derived variable, BMI or body mass index, which is frequently used as a measure of obesity and is based on simple weight and height measurements.

For this assignment, we are interested in whether or not BMI, which is relatively easy to measure, can be used to predict the percentage of adipose tissue (body.fat), which has to be estimated using an underwater weighing technique.

(a)  [5 marks] Let “body.fat” be the response variable Y and “BMI” be the predic- tor variable X.  Conduct an exploratory data analysis to assess whether the two variables are associated. Is there a statistically significant correlation between the variables?

Use the cor.test() function to conduct a suitable hypothesis test. Clearly specify the hypotheses you are testing and present and interpret the results.

(b)  [15 marks] Fit a simple linear regression (SLR) model.  Construct a plot of the

residuals against the fitted values, a normal Q-Q plot of the residuals, a bar plot of the leverages for each observation and a bar plot of Cook’s distances for each obser-

vation. Use these plots (and other means) to comment on the model assumptions and on any unusual data points.

(c)  [10 marks] Produce the ANOVA (Analysis of Variance) table for the SLR model and conduct the F-test based on the output. What is the coefficient of determina- tion for this model and how should you interpret this summary measure?

(d)  [10 marks] What are the estimated coefficients of the SLR model in part (b) and the standard errors associated with these coefficients? Interpret the values of these estimated coefficients and perform t-tests to test whether or not these coefficients differ significantly from zero. What do you conclude as a result of these t-tests?

(e)  [10 marks] Body mass index values less than 18.5 are typically categorised as “un-

derweight”; from 18.5 to 25 as “normal”, 25 to 30 as “overweight” and over 30 as “obese”. Use this SLR model to predict the body.fat percentage for groups of males with typical BMI values 17.5 (“moderately underweight”), 21.5 (“normal”), 27.5 (“overweight”) and 35 (“obese”), respectively.  Find 95% confidence intervals for these predictions. Do you think this SLR model is a good model for making these

predictions? If you believe this SLR model is not very appropriate, make some sug- gestions on how to improve the model (simply make suggestions, you don’t need to actually refit the model and produce more outputs).