Question  1  (Sortino ratio,  (12 marks)).  Consider a portfolio selection problem where R is the target return rate on the expected return of the portfolio.  The set of feasible portfolios is denoted by x c Rn  and it is to be assumed that this is a compact convex set.

1.  Formulate an optimization problem for finding a feasible portfolio with the largest value of Sortino ratio.   Also state,  with justification,  whether your objective function is convex or concave or neither.                                                                                                        (5 marks)

2.  Let sTR* denote the maximum Sortino ratio obtained by solving the problem in the first part. Show how you can compute a value  < sTR*  by solving a convex optimization problem. Clearly justify why the problem you are solving is convex.                                        (7 marks)

Question 2 (Coherent Risk measures, (18 marks)). Let A > 0 be any positive scalar and consider the following function fλ : Rv (Ω) → R defined on the space Rv (Ω) of random variables supported over some scenario set Ω,

fλ   :=   log ╱E ←e — λX ,、.

1.  Check whether this function satisfies each of the four properties — monotonicity, translation equivariance, positive homogeneity, and subadditivity.                                             (16 marks)

2.  Conclude what you can say whether this function is a coherent risk measure or not. (2 marks)

Question 3 (Recourse function, (20 marks)).  Let Ω be some set of scenarios and x c Rn  be an arbitrary set. Consider the risk-neutral stochastic program

min cT u + E ┌o(u, 6)┐

where the recourse function o : x × Ω → R is given by

o(u, 6) = min fo (3, 6)  s.t.   fi (3, 6) + gi (u, 6) < hi (6), i = 1, . . . , m,

y∈Y

where y is a convex set and for every 6 e Ω and i = 1, . . . , m, gi (., 6) is a convex function of u.

1.  Suppose that for every 6 e Ω and i = 0, . . . , m, fi (., 6) is a convex function of 3.  Prove that o(., 6) is a convex function of u for every 6 e Ω.                                                        (6 marks)

2.  Suppose that for every 6 e Ω and i = 0, . . . , m, fi (., 6) is a concave function of 3. Also assume that y is a polytope, which is a convex set with finitely many extreme points 1 . Let the extreme points of y be the vectors {3¯1 , . . . , 3¯K } for some finite integer K .

Prove that for every  A  >  0,  the recourse function can be lower bounded by the function

φ : x × R × Ω → R which is defined as                                                                    (14 marks)

m                               m                                                                                      m

φ(u, A, 6)  :=  _      Ai hi (6) +        Aigi (u, 6) +     min    fo (3¯k , 6) +        Ai fi (3¯k , 6).

k91,...,K

i91                            i91                                                                                    i91

Also argue that this lower bound is a convex function of u for every A > 0 and 6 e Ω.    l An extreme point is a point that cannot be written as a convex combination of two other points in the set.