1.   a)  A rustic poker game for two players,  and  , begins with both players       staking £2 into the kitty. In this game there is a hat containing six cards, one     marked with the number ‘1’, four marked with the number ‘3’ and one marked with the number ‘5’. The game starts with Player  selecting (at random) two   cards from the hat (both players are careful not to show their cards to their        opponent). Player  then selects a single card from those remaining in the hat.  Now Player  must decide to call either “Raise £4” or “Raise £2”. He then       adds either £4 or £2 into the kitty, depending on which call he makes. Now it   is player B’s turn. If he holds the ‘5’ card, his only option is to turn it face up   and call “Stick”. But if he holds the ‘1’ or a ‘3’ card, then he may call either     “Raise £2” or “Stick” as before. If calls “Raise £2”, then he pays £2 into the     kitty and selects a second card from the hat.

At this point the game concludes, the players turn over all the cards they hold in their hands. The winner of the game is the player with the higher score. A     player’s score is given by the total numbers on their respective card/s, minus    the money they paid into the kitty to obtain those cards. The player with the      higher score wins all the money in the kitty. If the scores are equal, the kitty is shared.

Draw a game tree for this game, including the information sets, the relevant probabilities ofthe possible scenarios and the monetary payoffs the players   receive. To simplify the diagram:

i) Show all of ’s information sets, but only those for  when he first selects either the ‘1’ or ‘5’ card.

ii) Compute and show the payoffs only in those instances when player  calls “Raise £4”.

[11 marks]

b) Compute the total number of playing strategies for each player. Write out   any three of Player ’s playing strategies in full. Do the same for any three of Player ’s playing strategies.

[4 marks]

c) Suppose both players adopt their most aggressive playing strategies, that is Player  calls “Raise £4” in all circumstances and Player  calls “Raise £2”  whenever permissible. Calculate the expected payoff for both players ifthese two strategies are pitted against one another.

[5 marks]

2.   a) In a 2 × 2 strategic game, the payoff bi-matrix for the two players A (row) and B (column) is given by

().

Using the swastika method, or otherwise, find the Nash equilibria ofthe game. [8 marks]

b) A more general version ofthis particular 2 × 2 strategic game, is defined by the following payoff bi-matrix

(),

where  and  ∈ ℝ . Establish the conditions on  and  that ensure the game contains a Nash equilibrium point over the mixed strategies.

[6 marks]

c) Assume that the game b) above contains a Nash equilibrium point over the  mixed strategies ( , ). Write down an expression for  , the sum of  and    ’s respective payoffs when  plays  and  plays  . If  = 5⁄2, establish the value of  , consistent with conditions found in part b), that maximises  .

[6 marks]

3.   a) A player has prospects 1, 2, 3 and 4 with 1 preferred to 4 . Suppose that

2~ [5 1,  3 4]

3~ [ 1,   4].

What is the preference relation between 2 and 3? The prospect s is such that

~ [1 2,   5 3] .

Find p such that

~[1,  (1 − )4],

and q such that

2~[3,  (1 − )4].

Is there an r such that  3~[2,  (1 − )4]?

[1 mark]

[2 marks]

[2 marks]

[2 marks]