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MATH254:  Tutorial Exercise for Week 5

1.  For the probability density function

                                               f (x)   =   cx3           (0 < x < 1)

(a) find the value of the constant c;

(b) obtain the distribution function F (x);

(c) find E[X];

(d) find Var[X];

(e) find Pr(0.25 < X < 0.75).

2.  For a certain type of electrical component, the lifetime X (in thousands of hours) has an Exponential distribution with rate parameter λ = 0.5. What is the probability that a new component will last longer than 1000 hours? If a component has already lasted 1000 hours, what is the probability that it will last at least 1000 hours more?

3.  The number of phone calls received at a certain residence in any period of t hours is a Poisson random variable with parameter λ = µt for some µ > 0. What is the probability that no calls are received during a period of t hours? Denoting by T the time (in hours) at which the first call after time zero is received, write down an expression for Pr(T ≤ t). What is the name of the distribution of the random variable T?

4.  The Weibull distribution with parameters α > 0 and β > 0 has distribution function F (x)   =    1 一 exp ,一 ╱ 、尸 、        x > 0

Find the median of the distribution in terms of the parameters α, β .

From the Weibull distribution function given above, derive an expression for the corresponding probability density function.

Show that the mean is given by

E[X]   = where the Gamma function Γ(x) is defined by

Γ(x)   =

αΓ ╱ 1 + 、

—

t芒 α 1 e αβ dt

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