Instructions

● Show your steps clearly. Marks will be deducted if not.

● When using the normal table, first round up the value to the nearest available value and then look for the correspondent number in the table. For example, suppose you calculate 0.229, you should round up to 0.23 and look for the corresponding number in the table.  Alternatively, suppose you calculate 0.221, you should round down to 0.22 and look for the corresponding number in the table.

● Please give your answers within 3 decimal places whenever necessary.

● We assume that there are 365 days in a year.

Answer All Questions (Total Points:  100)

1.  Consider a two-period Binomial Model.  Suppose S(0) = 5, u = 1.5, d = 0.8333, ∆t = 0.5. The annualized continuously compounded risk-free rate (r) is 0.2. Let the payoff of a1-year European put option with strike 5.1 equals to max{K _ S(1), 0}.

a)  (8 points) Find the price of the European put option at time-0, which is denoted as p(0, S(0)).

Suggested answers: (This question was discussed both in Lecture 2, Assignment 2, and Tutorial notes 2)

The risk neutral probability should be:

e0.2*0.5 _ 0.8333

1.5 _ 0.8333

The payoff of the put option should be:

p2 (UU) = 0 = p2 (UD) = p2 (DU)       p2 (DD) = 5.1 _ 3.471944 = 1.628056

The price of an European put should be

[0.4077862 *0+2*0.407786*(1_0.407786)*0+1.628056*(1_0.407786) ]2*e-0.2 = 0.467485

b)  (4 points) Find the price of the European call option at time-0, which is denoted as c(0, S(0))

Suggested answers: (This question was discussed both in Lecture 2, Assignment 2, and Tutorial notes 2)

The payoff of the call option should be:                                                      c2 (UU) = 6.15       c2 (UD) = c2 (DU) = 1.14975       c2 (DD) = 0

The price of an European call should be

[0.4077862 *6.15+2*0.407786*(1_0.407786)*1.14975+0*(1_0.407786) ]2*e-0.2 = 1.29196 c)  (4 points) Verify that the put-call is true for the your answers in 1a and 1b

Suggested answer:

As long as you have calculated the call and the put price correctly, you should be able to show the put call parity is correct. The purpose of this question is to ask you guys to check your answers above.

d)  (5 points) Find the price of the American put option at time-0 with the same strike price. Do you exercise early? Compare your answer with 1a and comment.

Suggested answer:

For the American put, you need to determine whether to early exercise at time=0.5 Since we know we should not early exercise when the stock price goes up, then the payoff of early exercise when the stock price goes down is 5 .1 _ 4.1665 = 0.9335 > the payoff of waiting, hence the price of an American put is:

[0.407786 * 0 + (1 _ 0.407786) * 0.9335] * e-0.1 = 0.50223

e)  (2 points) Find the price of the American call option at time-0 with the same strike price.  (Hint, an American call option with underlying asset that does not pay any dividend will never early exercise. You can use this fact to intuitively explain (no more than 3 sentence) to get the price of an American call)

Suggested answer:

This is an intuition question, which I have somehow mentioned during the tutorial, because the only difference between American option and European option is the early exercising right, hence if it is never optimal to early exercise, then American option should be the same as the European option.

f)  (5 points) Suppose a derivative security that pays F (1, S(1)) = S(1) _ 5 at ma- turity, what is the price of this derivative security at time-0, i.e., find F (0, S(0)). Assume that there is no early exercise.

Suggested answer:

The payoff of the forward should be:

F2(UU) = 6.25       F2(UD) = F2(DU) = 1.24975       F2(DD) = _1.52806

The price of a forward should be

[0.4077862 *6.25+2*0.407786*(1_0.407786)*1.24975+_1.52806*(1_0.407786) ]2*e-0.2 = 0.90635 g)  (7 points) Suppose you are given the following uniform random variates,

0.83397, 0.58464, 0.30230, 0.68866

Use Monte Carlo simulation to estimate p(0, S(0)).

Suggested answer:

As I mentioned in the tutorial, there is no unique way to use these 4 numbers, so I will have to check your steps. The way I use is

Because 0.833973  >  0.407786,  hence  S(0.5)  =  5 * 0.8333  =  4.1665,  and since 0.302304 < 0.407786, hence S(1) = 4.1665 * 1.5 = 6.24975

Because 0.688663  >  0.407786,  hence  S(0.5)  =  5 * 0.8333  =  4.1665,  and since 0.584642 < 0.407786, hence S(1) = 4.1665 * 0.8333 = 3.471944

Given the two stock prices at time1, the corresponding payoff should be 0 and 1.628056, hence the discounted average is 0.66647

2.  Please answer the following two questions regarding credit rating definitions.

a)  (5 points) Could you please explain at least two major reasons why we call BBB- and above ratings as investment grades and under BBB- as speculation grades?

Suggested answer:

There is no unique solution to this questions.  The important point is to explain. Here I list a few of reasonable answers:

● Cash flow difference

● Seniority of the loan

● The financial stability of the issuer

● The expected recovery rate

● The quality of the collateral

● The nature of the issue, i.e., corporate or government

● Debt ratio of the company

Many of you mentioned the interest rate is the factor to determine the speculative rate or the investment grade. You should know that interest rate is strongly related to the price of the bond, so interest rate should be a dependent variable instead of a independent variable to explain the ratings.

b)  (5 points) Could you explain why the financial institutions’ extreme default % is higher than non financial institutions’ ones?

Suggested answer:

Again, there is no right or wrong model answer to this question.  Here I listed a few of the reasonable answers:

● Companies in the financial sector loaded up their balance sheets with debt during the boom years.  As a result, when the economy turn south and the liquidity of the market went out, they will experience more pressure in obtain- ing funding/liquidity, hence they may face greater chance of downgrading or default

● The assets hold by financial institutions are usually financial securities, which is subject to market price  (or mark to market  (sometimes)),  hence,  when the economy turn south, these assets depreciate greatly and hence affect the liquidity of the financial institution. Or alternatively, they can talk about the asset of the non-financial institution are less volatile

● The assets hold by financial institutions are also highly correlated. When the economy turns south and the risk managerment of these financial institutions does not hedge properly, these assets depreciate together

3.  (10 points) From the following table, what unique performance can you find during the 2008 financial crisis comparing with 2001,  1991,  1982, and long term average? Please pick three major findings.

Suggested answer:

There is no right or wrong answer to this question. The only thing that I do not want is something like: ”1) The stable proportion of AAA drops a lot during 2008. 2) The stable proportion of AA drops a lot during 2008.” Although you can argue these are ”different” observations, I think you guys can do better than that. For example, some people found that there is no upgrade of AA in 2008. These are good observations.

4.  a)  (3 points) If the 5-year CDS spread of ABC Corp is 200 basis points, or 2.0% (1 basis point = 0.01%), then how much does an hedge fund pay to buy $10 million worth of protection from a CDS seller per year?

Suggested answer:

10 mil * 200 bps = 0.2 mil

b)  (3 points) After 2 years, the market now considers ABC Corp more likely to de- fault, so its CDS spread has widened from 200 to 2,000 basis points.  The hedge fund may choose to sell $10 million worth of protection for 3 years to AAA-Bank at this higher rate.  How much is the profit and/or loss for this hedge fund over the whole five years if ABC Corp does not default at the end of 5-years period?

Suggested answer:

10 mil * 2000 bps = 2 mil

the hedge fund will receive this  amount for the following  3 years,  hence total receivable = 2 mil *3 =6 mil

The total payable is 0.2 mil * 5 years = 1 mil

Hence the net is 5 mil.

c)  (4 points) Following the above question 2, if ABC Corp defaulted in the middle of 3rd year and its senior bonds are now trading at 55 (i.e.  55 cents on the dollar), how much does the hedge fund need to pay for net cash in order to settle its CDS positions? Please neglect the CDS fee having been collected before the default.

Suggested answer:

Since whatever the hedge fund received from the CDS seller (the one at time=0) and the amount that the hedge fund needs to pay to the CDS buyer (the one at time =2) must be the same, hence the net payment is zero.

5.  Suppose Z1, Z2  and F are independent standard normal random variables. Let

X1 = 0.2F +←1 _ 0.22 Z1

and

X2 = 0.3F +←1 _ 0.32 Z2

a)  (2 points) Find the mean and variance of X1 .

b)  (2 points) Find the mean and variance of X2 . Suggested answer to a) and b)

I know I have never covered this question explicitly, but I think these two questions (or one) are some basic that you should know a long time ago.

E(Xi) = 0.2 * E(F) +←1 _ 0.22 * E(Zi) = 0.2 * 0 + ← 1 _ 0.22 * 0 = 0

V (Xi) = 0.22 * V (F) + ( ←1 _ 0.22)2 * V (Zi) = 0.22 * 1 + ( ←1 _ 0.22)2 * 1 = 1

c)  (2 points) Find the covariance between X1  and X2 . Suggested answer:

I did not give you an example of this, but on Tutorial Notes  (Week  1), in the middle of the page, I mentioned about the properities of covariance :

Cov(aX+bY, cW+dZ) = acCov(X, W)+adCov(X, Z)+bcCov(Y, W)+bdCov(Y, Z)

applying this formula:

Cov(0.2F+ ←1 _ 0.22 Z1 , 0.3F+ ←1 _ 0.32 Z2) = Cov(0.2F, 0.3F) = 0.06*V (F) = 0.06

because F , Z1  and Z2  are independent and Cov(F, F) = V (F)

d)  (3 points) Construct the variance-covariance matrix of X1  and X2. Find the cor- responding Cholesky decomposition of this variance-covariance matrix.

Suggested answer:

I talked about how to construct a Cholesky by hand on Tutorial Notes (Week 1), pg 10 of the Handwritten files (Week4).  Even you are not able to construct the Cholesky decomposition, this does not really affect the remaining of the question.

Consider the Black-Scholes framework.   Let S1  and S2  be two stock prices.   In particular,

S1(t) = 100 exp((0.06 _ 0.5 * 0.42)t + 0.4 ′tX1)

and

S2(t) = 110 exp((0.06 _ 0.5 * 0.32)t + 0.3 ′tX2)

e)  (5 points) Find P (S1(2) > S2(2)). Suggested answer:

I cover this question on Tutorial Week 1, pg 7 of the handwritten files.

P (S1(2) > S2(2)) = P (100 exp((0.06_0.5*0.42)t+0.4 ′tX1) > 110 exp((0.06_0.5*0.32)t+0.3 ′tX2))

simplifying

= P ( exp(_0.5 * 0.42 + 0.5 * 0.32) > exp(0.3 ′2X2 _ 0.4 ′2X1)

= P (_0.16531 > 0.3 ′2X2 _ 0.4 ′2X1)

Let Y = 0.3 ′2X2 _ 0.4 ′2X1 ,               

then Y ~ N(0, (0.3 ′2)2 V (X2) + (0.4 ′2)2 V (X1) _ 2 * 0.3 ′2 * 0.4 ′2Cov(X1, X2 )), hence Y ~ N(0, 0.4712), then:

= P (_0.16531 > 0.3 ′2X2 _ 0.4 ′2X1) = 1 _ 0.5948 = 0.4052

f)  (5 points) Find E(S1(2)|F = 0.94, S2 (2) = 115)

Suggested answer:

I did not talk about this one, but if you are being careful, you will notice that if F is given, then X1  and X2  are independent because Z1  and Z2  are independent. Hence

E(S1(2)|F = 0.94, S2 (2) = 115) = E(S1(2)|F = 0.94)

when F  = 0.94, X1|F  = 0.2 * 0.94 + ← (1 _ 0.22)Z1  → X1|F  ~ N(0.08, 0.96). Therefore,

E(S1(2)|F = 0.94) = E(100 exp((0.06_0.5*0.42)t+0.4 ′tX1|F)) = 96.07894*E(exp(0.4 ′2X1|F))

You can then use the formular I have given you on page 9 of Handwritten files Week 4 (if X ~ N(µ, σ2 ), then E(eaX ) = eaµ+0.5*a2 σ 2 , to get

E(S1(2)|F = 0.94) = 96.07894 * 1.296864 = 124.6013

g)  (6 points) Find E(S2(2)|S1(2) = 115).

Suggested answer:

You can also reference the solution of this question to Handwritten files Week 4, page 8-9

S1(2) = 115 → X1 = 0.31777

S2(2) = 110 exp((0.06 _ 0.5 * 0.32)2 + 0.3 ′2X2) = 113.35 * exp(0.3 ′2X2)

Hence

E(S2(2)|S1(2) = 115) = 113.35 * E(exp(0.3 ′2X2)|X1 = 0.31777)

Using the formular provided on Handwritten files Week 4 page 5,

X2|X1 = 0.31777 ~ N(0.059066, 0.9964)

Hence, combine the above with the formular I have given you on page 9 of Hand- written files Week 4 (if X ~ N(µ, σ2 ), then E(eaX ) = eaµ+0.5*a2 σ 2   , you will get

E(S2(2)|S1(2) = 115) = 113.35 * 1.102704 = 124.9915