Project description

The insurance business in a single period can be modeled by a so-called surplus process (S) defined as

N

S = µ * n –      Xi .                                                  (1)

i1＋

In (1), µ is the constant premium rate and n is the total number of policies in this business; N is a random positive integer for the number of claims and Xi  is another random variables independent from N, describing the size (amount) of i-th claim. For a S with n = 100, it is believed that N ~ Poisson(30) distribution and Xi  are i.i.d. Pareto(100, β = 3) distributed with density

fX (x) = β × 100β                                                                                (2)

where x > 100 denotes the claim size in /. Otherwise the density is 0. Your task is to estimate risk measures and other quantities associated with this portfolio over a period of a single year. (Hint: use simulation in question (1) for the estimations of other questions)

(1) Describe mathematically an algorithm which could be used transform independent sam- ples from a U(0, 1) distribution to generate samples from the above Pareto distribution.

[2 marks]

(2) The insurer determines a premium rate µ = /60 in S.  Use the R programming lan- guage to estimate the Value at Risk (VaR) and the Conditional Tail Expectation (CTE) at probability level α = 0.9. From the insurer’s point of view, use simulation to estimate a µ* such that the ruin probability is smaller than 1%, i.e.,

Pr(S < 0) < 0.01.

(Hint: for the calculation of VaR & CTE, consider –S as the loss of the insurer, i.e. to estimate VaRα [ –S]).

[8 marks]

(3) From a policyholder’s point of view (who is a rational investor), consider a client facing a truncated Pareto(100, β = 3) loss Y with upper bound 1000, i.e. Pr(Y < 1000) = 1. Estimate the maximum premium µ**  that he or she is willing to pay to purchase this insurance policy if the client adopts a utility function with form

y 

500

1