Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON5065

Applied Computational Finance

Practice Problems Set 1

1. Let W(t), t > 0, be a Brownian motion, and let F(t), t > 0, be a ltration for this Brownian motion. Show that W2(t)  t is a martingale.

(Hint: For 0 < s < t, write W2(t) as (W(t)  W(s))2 + 2W(t)W(s)  W2(s).)

2. Let the interest rate r and the volatility  > 0 be constant. Let S(t) = S(0)e (r 2)t+W(t)

be a geometric Brownian motion with mean rate of return r, where the initial stock price S(0) is positive. Let K be a, positive constant. Show that, for T > 0,

E[e rT(S(T)  K)+] = S(0)N(d+(T,S(0))  Ke rTN(d (T,S(0)),

where

d (T,S(0)) =  [log  + (r  )] ,

and N is the cumulative standard normal distribution function

N(y) =   e z2 dz =   e z2 dz .

3. Let W be a Brownian motion. Fix m > 0 and  ∈ R. For 0 < t < ∞, dene X(t) = t + W(t),m = min{t  0;X(t) = m}.

As usual, we set m = ∞ if X(t) never reaches the level m. Let  be a positive number and set

Z(t) = exp (X(t)  ( + 2) t) .

(a) Show that Z(t), t  0, is a martingale

(b) Use (a) to conclude that

E [exp (X(t ∧ m)  ( + 2)(t ∧ m))] = 1, t  0.

(c) Now suppose   0. Show that for  > 0,

E [exp (m  ( + 2)m) 1{m<∞}] = 1.

Use this fact to show P(m < ∞) = 1 and to obtain the Laplace transform Eem  = em m for all  > 0.