Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 235 W22 - A2

Question 1

Consider the following subsets of V = Co (R).

Determine whether they are vector subspaces or not.

If the subset is a subspace of Co (R), then write YES, and prove that it is.          If the subset is not a subspace of Co (R), then write NO, and prove that it is not.

(a) W1  = {g(x) ∈ V : g(0) + g(1) = 1}.

(b) W2  = {g(x) ∈ V : g(0) + g(1) = 0}.

(c) W3  = {g(x) ∈ V : (g(0))(g(1)) = 0}.

(d) W4  = {g(x) ∈ V : g(x) + ╱ 、 = 1}.     (e) W5  = {g(x) ∈ V : g(x) + ╱ 、 = 0}.     (f) W6  = {g(x) ∈ V : (g(x)) ╱ 、 = 0}.       (g) W7  = {g(x) ∈ V : (g(x)) ╱  − 1、= 0}.

(h) W8  = {g(x) ∈ V : g(x) + 2 ╱ 、 + 3 ╱ 、 = 0}.

(i) W9  = {g(x) ∈ V : g(x) + 2 ╱ 、 + 3 ╱ 、 = x2 }.

Question 2

Let V be a vector space and let S1  and S2  be non-empty subsets of V . (a) Show that if S1  ⊆ S2 , then Span(S1 ) ⊆ Span(S2 ).

(b) Show that if S1 ⊆ S2 , S1  S2 and Span(S1 ) = Span(S2 ), then S2 is linearly dependent.

(c) Show that if S1 and S2  are linearly independent, then S1 ∩ S2  is linearly independent.

(d) Give a counterexample to show that the following statement is false:

“if S1  and S2  are linearly dependent, then S1 ∩ S2  is linearly dependent.”