Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

SAMPLE QUIZ 2.  MATH 216.

Problem 1.      Let {xn } be a sequence in R such that there is θ e [0, 1) with

Ixn＋l  - xn I < θn

for all n e N. Show that {xn } is a fundamental sequence and therefore converges.

Problem 2.  a.    Let {xn } and {yn } be two convergent sequences in R.  Assume that there exists N e N such that for every n 2 N one has xn  < yn . Show that

lim xn  <  lim yn .

b.  Show that there exists two convergent sequences {xn } and {yn } in R such that for every n 2 1 one has xn  < yn  but

lim xn  2  lim yn .

Problem 3.     Let {xn } be a sequence in R, let x be an accumulation point of {xn }, and let {ε亿 } be a sequence of strictly positive reals such that lim亿 →o ε亿  = 0.  Show that there is a subsequence {xnk} of {xn } such that Ixnk   - xI < ε亿  for all k e N.