Problem 1 (20 pts)

The volume of a bubble (V) is calculated by measuring the diameter (D) and using the relationship V = D3 . Suppose that the measured diameter has mean µD  variance σ . What is the approximate mean and variance of the volume?

Hint: use the delta method.

Problem 2 (15 pts)

Use the moment-generating functions to show that if X follows an exponential distribution, cX(c > 0) does also.

Hint: The MGF of Exponential(λ) is (1 − t)− 1 .

Problem 3 (30 pts)

(1) Show that for i.i.d. random variables X1 , X2 , . . . , Xn following Exponential(λ) distribution, their sum Sn  = !1 Xi  follows Gamma(n, 1/λ) distribution.

Hint:  Use the moment-generating functions of Exponential(λ)  (from Problem 2 above) and Gamma(n, 1/λ) (from Homework 1).

(2) Use the central limit theorem to derive the approximate distribution of Sn  as n gets large.

Hint:  The central limit theorem says that  Sn −E[Sn]   has an approximate distribution of N(0, 1)

when n is large.  To derive the approximate distribution of Sn , you need to calculate E[Sn] and Var(Sn).

Problem 4 (15 pts)

Suppose that X1 , . . . , X20  are independent random variables with density function f(x) = 2x,    0 ≤ x ≤ 1.

Let S20  = X1 + · · · + X20 . Use the central limit theorem to approximate P(S20  ≤ 10).

Note: Express your answer in terms of Φ(·), the CDF of the standard normal distribution N(0, 1), i.e., P(Z ≤ a) = Φ(a) for the random variable Z ∼ N(0, 1).

Hint: The central limit theorem says that S20 −E[S20]  has an approximate distribution of N(0, 1)

when n is large.  To derive the approximate distribution of S20 , you need to calculate E[S20] and Var(S20) based on the expectations and variances of X1 , . . . , X20 .