Question 1 (10 marks) You have random samples from two groups, X ~ N(µ1 , σ 1(2)) and

Y ~ N(µ2 , σ2(2)).  Some R output from analysing these data are below.  The variable x contains the observations of X and the variable y contains the observations of Y .

>  summary(x)

Min.  1st  Qu.   Median       Mean  3rd  Qu.       Max.

2.620      3.320     4.040     4.193     4.515      6.300

>  summary(y)

Min.  1st  Qu.   Median       Mean  3rd  Qu.       Max.

4.150     4.450      5.355      5.212      5.595      6.720

>  sd(x)

[1]  1.200121

>  sd(y)

[1]  0.8368034

>  sort(y)

[1]  4.15  4.25  4.34  4.78  5.30  5.41  5.46  5.64  6.07  6.72

(a) For each of the following quantities, state or calculate its value if possible, or otherwise explain why it is not possible.

(i) x(1)

(ii) y(4.5)

(iii) 

(iv)  σ2

(b) For each of the following statements, state whether they are true, false or if it is not possible to know from the given information.  In each case state the values of the quantities, if possible.

(i) x(1)  > y(1)

(ii)  > y¯

(iii)  σ 1  > σ2

(c) For each of the following pairs of hypotheses, carry out the test if it is possible, using a 5% significance level, or otherwise explain what further information you need in order to do it.

(i)  H0 : µ 1 = µ2  versus H1 : µ 1  µ2 (ii)  H0 : σ2 = 2 versus H1 : σ2  2

Question 2 (9 marks) A random sample on X produced the following observations:

5.5     5.8     6.0     6.6     6.8     6.9     7.1     7.3     7.5     8.7

For these data, we have  = 6.82 and s = 0.932.

(a) Let µ = E(X).  Calculate a 95% confidence interval for µ, assuming that X is normally distributed.

(b) Let p = Pr(X > 6.5). Calculate a 95% confidence interval for p.

(c) Let m be the median of X.  Calculate a distribution-free confidence interval for m, with an approximate confidence level of 90%.

Question  3  (11  marks)  Consider a random sample of size n on X  which has a geometric distribution with parameter θ. Its pmf is:

pX (x) = θ(1 - θ)z,    x e {0, 1, 2, . . . }

and it has mean (1 - θ)/θ .

(a)  Determine a sufficient statistic for θ .

(b) Find the method of moments estimator of θ .

(c) Find the maximum likelihood estimator (MLE) of θ .

(d) Find the Cram´er–Rao lower bound for unbiased estimators of θ . (e)  Derive an expression for the standard error of the MLE.

(f) A random sample of size n = 20 produced the following observations:

3 2 0 1 1 3 0 0 0 0 0 3 0 3 1 1 0 2 2 0

Estimate θ and calculate an approximate 90% confidence interval.

Question 4 (12 marks) Laleh has bought a new toaster. It has a dial that allows her to set the ‘strength’ of toasting. She is not sure if it works very well and decides to run some experiments. She sets the dial to various values, x, and measures how long the toaster cooks the bread, Y , before it pops the bread out.  She does a simple linear regression analysis of these data using the model E(Y I x) = α + βx. Some partial R output from her analysis is shown below.

Estimate  Std.  Error  t  value  Pr(>|t|)

(Intercept)    -0.7323          1.8852

x                         1.1556          0.3818

---

Signif.  codes:    0  ’***’  0.001  ’**’  0.01  ’*’  0.05  ’.’  0.1  ’  ’  1

Residual  standard  error:  1.686  on  28  degrees  of  freedom        Multiple  R-squared:    0.2465,       Adjusted  R-squared:    0.2196 F-statistic:  9.159  on  1  and  28  DF,   p-value:  0.005262

(a) How many experiments did Laleh carry out?

(b)  Carry out the following hypothesis tests, using a 5% significance level.

(i)  H0 : α = 0 versus H1 : α  0 (ii)  H0 : β = 0 versus H1 : β  0

(c) Is there evidence that the dial is having an effect on the toasting time?

(d) Write out the ANOVA table for this regression model fit. (Hint:  the F statistic is shown in the above R output.)

Question 5 (13 marks) On his way to work in the mornings, Damjan records how long he has to wait for his train at the station.  Over a series of days, he observes the following times (in minutes):

4.8     1.2     3.7     0.9     0.7     0.3     0.9     3.2     1.4

For these data we have  = 1.9 and s = 1.58. Damjan decides to use an exponential distribution with mean θ as a model for these data. He would like to estimate his median waiting time, m.

(a) Express m in terms of θ .

(b)  Damjan decides to use the sample median, Mˆ, as his estimator.

(i) What is the asymptotic sampling distribution of Mˆ ?

(ii) What is Damjan’s estimate of m for this dataset?

(iii)  Calculate a standard error for Damjan’s estimate.

(c)  Damjan now considers using  as his estimator of m.

(i)  Show that this estimator is biased.

(ii) Let T = c be an adjusted estimator. Find c so that T is unbiased. (iii)  Determine var(T).

(iv) Which of Mˆ and T is the better estimator?

(v) What is the estimate, t, based on the data above?

(vi)  Calculate a standard error for this estimate.

Question 6 (10 marks) On his way to the office early every morning, Allan walks past South Lawn and counts how many students he sees there.  He decides to model these counts using a Poisson distribution with pmf,

e −9 θz

,

Across the first 45 days of semester, he observes on average 3.8 students per day. Robert says that he did a similar survey last year and got on average about 3.0 students per day, although he cannot remember over how many days he observed them. Allan would like to estimate θ by combining this information appropriately.

(a)  Show that the gamma distribution is a conjugate prior for θ .

Note that the pdf of θ ~ Gamma(α, β) is,

f (θIα, β) = θa − 1 e −β9 ,    (θ > 0)

and it has mean E(θ) = α/β .

(b) Allan decides to treat Robert’s information as if it came from 10 days of sampling (i.e. as pseudodata).   Determine the parameters of the prior that encode this information appropriately.

(c) Using this prior, what is the posterior distribution of θ?

(d)  Calculate the posterior mean.