PART A: Multiple Choice questions

The answers to the MC questions are:

1) B

2) D

3) D

4) D

5) A

6) C

7) A

8) A

9) C

10) D

PART B: Short Questions

Answer to Short Question 1:

a) It is clear that the equilibrium quantity of the various factors is completely pinned down by the (perfectly inelastic) supply. Hence, we have K*  = 100, Ls(*)  = 200, Lu(*)  = 800, and using the production function we can also find that Y*   = K*1/3Ls *1/3Lu *1/3   =

25198.4.

b) The equilibrium wages and rental rate of capital will be equal to the marginal products of the various inputs. First, think about the marginal product of skilled labor. We have

MPLs   = FLs(K, Ls , Lu ) = K1/3Lu(1)/3L

and if we evaluate this at the equilibrium quantities, we obtain ws(*)  = 42. Similarly, we can show that

MPLu   = FLu(K, Ls , Lu ) = K1/3Ls(1)/3L

and if we evaluate this at the equilibrium quantities, we obtain wu(*)  = 10.5.  Finally, for the capital we have

MPK  = FK (K, Ls , Lu ) = Lu(1)/3Ls(1)/3K-2/3 ,

which (evaluated at the equilibrium quantities) will give us r*  = 84.

c) One can calculate this fraction explicitly as

ws(*)Ls(*)          

ws(*)Ls(*) + wu(*)Lu(*) .

If you do the calculation carefully you will find that the answer is 0.5. Of course, this is not surprising, given what we learned in class: the fraction of output that will be paid to a certain input will be equal to the power in which we raise that input in the Cobb-Douglas production function. Since here we have Ls(1)/3  and Lu(1)/3, this means that these two inputs contribute equally to the output, hence, they will each be paid the same amount of output (in total). This, in turn, means that the fraction of the total payments to workers which is allocated to skilled (or unskilled) workers is exactly 50%.

d) A rational worker would be willing to pay up to the amount by which the skilled worker’s wage exceeds the unskilled worker’s wage  (sometimes referred to as the skill premium). This number follows directly from your answer in part (b), and it is given by p = ws(*) - wu(*)  = 31.5.

Answer to Short Question 2:

a) We know that the growth rate of ideas in this economy is g(A) = 1 , where is the fraction of labor employed at the labs, so to speak. Therefore, here = 1 - 0.7 = 0.3. We also know that  = 0.0025 and  = 100. Therefore, g(A) = 0.075.

Let’s think about g(Y) first.  From the production function, since Yt  = At Lyt , then we must have g(Y) = g(A) + g(Ly ). But Ly  is a constant (that is g(Ly ) = 0), so we have g(Y) = g(A) = 0.075. Finally, we know that g(y) = g(Y) - g(), but the growth rate of the total population is also zero. Summing up g(y) = g(A) = 0.075.

b) Since the per person output grows at a constant rate (of 7.5 per cent), its value, after 20 periods, will be given by y20  = (1 + 0.075)20y0 , and all we need to know is y0 . To that end, write

Y0          A0 Ly0          A0 0.7 

We can now conclude that y20  = (1.075)20 * 700 = 2973.49.

To see how much time it will take for the variable yt  to double, all you need to do is use the so-called rule of 70.  For any variable that grows with an annual (and constant) rate of g percent, the number of years it takes this variable to double is 70/g.  In our example this is just 70/7.5 = 9.33 years, i.e. less than 10 years!

c) The change described here will reduce the growth rate because it will lower the parameter   However, the immediate response of output will be positive, because more workers are dedicated to the production of final good, which is good in the short-run.

The outcome is depicted in Figure  1.   Notice that at t  =  20, output jumps, but thereafter it grows at a slower pace.  I have intentionally drawn a dashed line which is the continuation of yt , for t = 1, ..., 20. This line shows what the per capita output would have been if the change in  had never happened.  Although initially the reduction in  increases output, eventually things will be worse (under the lower ), because in the long run a higher growth rate is more important.

d) Under the change described in part (c), the new growth rate of ideas is gA(1)  = 0.0375. But to find where the economy will be 10 years after the change (i.e., in year 30), we need to calculate the term

y3(1)0  = (1.0375)10 * y2(1)0 ,

where,  importantly,  y2(1)0   is the new,  higher level of output that the economy obtains immediately after the change in  is implemented (in other words, it’s the value that y obtains exactly at the ’jump’ in the figure). That number can be found as

y2(1)0  = A20 (1 - 1 ) = 4, 247.85 * 0.85 = 3610.67.

Using this number in the equation above, we can conclude that

y3(1)0  = (1.0375)10 * 3610.67 ≈ 5217.

On the other hand, if the change described in part (c) had never happened we would have

y30  = (1.075)30 * y0  = 6128.46.

Thus, only 10 years after the structural change described in part (c) (the decision of the government to pull workers away from the production of ideas), the results for the economy are bad: the economy grows much slower and ends up with a much lower level of output per capita, than the one that it would have obtained if had remain unaltered.

Answer to Short Question 3:

The first parts of the question are taken directly from the lecture notes, so I will keep the answer key short (but I expected from you to show me the work that led to your answers).

a) As we saw in class, the growth rate of ideas in this model will be given by A  =  .

b) In class we explained that this economy will have a balanced growth path, but for this to happen we need gK  = gY . Given that it is easy to also show that these two growth rates are equal to K  = A .

c) To find A20  all we need is the initial stock of ideas and their growth rate, and we have both of them:  0  is given and equal to 100, and the A   =  = 0.01.  Hence, A20  = (1.01)10 100 ≈ 122.

d) The statement is definitely false.   We know that in this model the capital will grow at a constant rate eventually, or in the long-run.  But in the short run that is not necessarily true, and, typically, the growth rate of capital in the short run will be governed by the transition dynamics. For example, suppose that K0  is very low. Then, the growth rate of capital will be very large initially, and as time passes it will converge, not to 0 (as in the Solow model) but to the number gK  = 1.5 . the opposite will happen if K0 starts from a very large initial value.  To gain some intuition on the how transition dynamics can be combined with a balanced growth path (which is exactly what is going on here), please see Figure 6.6 in the book.

PART C: Long Question

a) You need to draw a typical Solow diagram like, for example, Figure 5.1. The initial point is 0  = 1000. In the long run we will reach the steady state, which can be found by solving t  = d¯Kt . Using the production function, the fact that Lt  =  in every period, and a little algebra, we find that

K*  = ╱ 、3/2  = 1837.11.                                              (4)

We know that the capital in our economy will converge to that level in the long run.      In the short run, since we start with a level of capital smaller than K* , we know that

capital will increase.  In the beginning these upward changes will be big, but as time passes they will get smaller and smaller.

b) We know that

y*  =  = 1.224.

Regarding consumption, we know that

C*  = (1 - )Y* .

Therefore, we can divide both sides by L*  =  to get

c*  = (1 - )Y* /L*  = (1 - )y*  = 0.85 * 1.224 = 1.0404.

c) Here we just need to describe the long run.  Equation (??) is still valid.  We just need to substitute the same numbers as before, except now  = 0.25.  This will give us

the new steady state capital K**  = 3952.84.  The new steady state is higher, since now the agents in this economy are more patient, and they value future consumption more relatively to the original specification.

d) First of all, in the question I explicitly mention that in t = 100 the economy is at the steady state of part (a). Hence, the first part is very easy: K100  = K*  = 1837.11. For K101 , the formula you want to use is

Kt+1  = Kt + Kt(1)/32/3 - d¯Kt .

This is the basic equation of the Solow model. For example,        K101  = K100 + K2/3 - d¯K100  = 1959.58.

In a similar fashion, you can find that K102  = 2076.47.

The growth rate of capital between the periods 100-101 is given by

g(K101-100 ) =  = 0.06666.