PART A: Multiple Choice questions

Each question is worth 4 points

The answers to the MC questions are:

1) C

2) E

3) E

4) B

5) B

6) D

7) B

8) D

9) C

10) B

PART B: Short Questions

Answer to Short Question 1:

a) It is clear that the equilibrium quantity of the various factors is completely pinned down by the (perfectly inelastic) supply. Hence, we have K*  = 100, L*  = 1000, and using the production function we can also find that Y*  = K*1/3L*2/3  = 46, 415.88

b) The equilibrium wage and rental rate of capital will be equal to the marginal products of labor and capital. First, think about the marginal product of labor. We have

MPL  = FL (K, L) = K1/3L-1/3 ,

and we evaluate this at the equilibrium quantities we obtain w*  = 30.94. Similarly, we can show that

MPK  = L2/3K-2/3 ,

which (evaluated at the equilibrium quantities) will give us r*  = 154.71.

c) Now, we have a new population level (which coincides with the labor force), and, in particular /  = 0.7 .  Therefore, all we need to do is use the previous formulas, but instead of  one needs to replace with /  = 0.7 .  Plugging in this new value gives us w/  = 34.85 and r/  = 121.97.  Hence, the new equilibrium wage is higher, which makes perfect sense: the new labor supply is lower, and since our production function exhibits DRS with respect to labor, the marginal product of labor under the new situation (with fewer workers) will be higher, and so will be the wage in equilibrium.

d) As we have seen in class, the equilibrium wage and rental rate of capital can be written as:

w*  = MPL  = 2 K1/3L-1/3  = 2 Y*

3                       3 K* .

Thus, we can write equilibrium profit as

π *  = Y* - w L** - r K* *  = Y* - L* - K*  = Y* - Y* - Y*  = 0.

This is the formal proof of the simple idea that in this competitive market equilibrium profit will be equal to zero.

Answer to Short Question 2:

This question has a very easy and quick answer once you have figured out what is going on in this economy. The key observation is that the government would like to avoid as much as possible using skilled guys in the production of final good, because in that type of production they are not any better than unskilled guys!  In other words, the skilled guys have an advantage in the production of ideas, and the government should try to exploit it as much as possible.

a) If the government wishes to allocate 30% of the total labor force to the production of new ideas, that means they want 300 workers in that sector.  Of course, they should use all the skilled workers (that’s how many skilled workers there are in this economy, 300)! This immediately implies that the 700 unskilled workers all work in the final good sector, and, importantly, none of them works in the ideas sector (which, in a sense, would be inefficient). The law of motion of new ideas becomes

At+1 - At  = At (300 s + u * 0),

implying that the growth rate of ideas, gA  = (At+1  - At )/At  = 0.00025 * 300 = 0.075, or simply 7.5 per cent.

Given the above discussion, total output in the economy is given by Yt  = 700At  (the number 700 is the number of worker sin the final good sector; notice that all these guys are unskilled, but that doesn’t really matter! When it comes to production of final good, skilled or unskilled workers are basically the same). Then, yt  = Yt /  = 0.7At . Therefore, the growth rate of per capita output will be exactly the same as the growth rate as the growth rate of ideas.  We saw this result many times in the class, in homeworks, and in past exams, and it is no different here.

b) Since the per person output grows at a constant rate (of 7.5 per cent), its value, after 20 periods, will be given by y20  = (1 + 0.075)20y0 , and all we need to know is y0 . But we saw that yt  = 0.7At , so that y0  = 0.7A0  = 0.7 * 1000 = 700. Finally, we can find that y20  = (1.075)20  * 700 = 2973.49 (which reflects a tremendous change compared to the initial condition, because a growth rate of 7.5 per cent is a tremendous growth rate!)

Similarly, A20  = (1.075)20 A0  = 4247.85.

c) Now, the government wishes to allocate 40% of the total labor force to the produc- tion of new ideas, that is 400 workers. But unfortunately, the economy does not have 400 skilled workers, so now it will have to move some unskilled (and relatively less efficient) workers into the production of ideas. Notice that the most optimal allocation is to have

all 300 skilled workers plus 100 unskilled workers allocated in the technology sector.1   Now we have

At+1 - At  = At ( s * 300 + u * 100) = 0.00025 * 300 + 0.0001 * 100 = 0.085,

or simply 8.5 per cent.

Notice that the growth rate has increased even more (this is a property of our simple version of the Romer model), but the marginal productivity of the 100 unskilled workers is smaller than the marginal productivity of the skilled workers. Ideally, the government would like all 400 workers in the tech sector to be skilled, but, unfortunately, the economy does not have so many skilled workers!

d) Yes. The fact that ideas are non-rival can be seen from the fact that the very same ideas At  show up both in the production function of final good and in the production function of new ideas. On the other hand, labor L, which is an object, has to be physically divided into the labor used in the production of the final good, and the labor used in the production of new ideas. In other words, a worker who is occupied in the field (or factory), cannot be in the lab at the same time: Objects are rival.

Answer to Long Question

a) You need to draw a typical Solow diagram like, for example, Figure 5.1. The initial point is 0  = 500. In the long run we will reach the steady state, which can be found by solving t  = d¯Kt . Using the production function, the fact that Lt  =  in every period, and a little algebra, we find that

K*  = / 、3/2  = 1837.11.                                              (3)

We know that the capital in our economy will converge to that level in the long run.      In the short run, since we start with a level of capital smaller than K* , we know that

capital will increase.  In the beginning these upward changes will be big, but as time passes (and we get closer to the steady state) they will get smaller and smaller.

b) We know that

C*  = (1 - )Y* .

Therefore, we can divide both sides by L*  =  to get

c*  = (1 - )Y* /L*  = 1.0404,

after some calculations.

c) Here we just need to describe the long run.  Equation (??) is still valid.  We just need to substitute the same numbers as before, except now  = 0.1. This will give us the new steady state capital K**  = 1000. The new steady state is, of course, lower, since now the agents in this economy are less patient, and they invest a smaller fraction of output than before.

d) First of all, in the question I explicitly mention that in t = 100 the economy is at the steady state of part (a). Hence, the first part is very easy: K100  = K*  = 1837.11. For K101 , the formula you want to use is

Kt+1  = Kt + Kt(1)/32/3 - d¯Kt .

This is the basic equation of the Solow model. For example,        K101  = K100 + K2/3 - d¯K100  = 1775.88.

In a similar fashion, you can find that K102  = 1719.39.

The growth rate of capital between the periods 100-101 is given by

g(K101-100 ) =  = -0.033.

Similarly,

g(K102-101 ) =

K102 - K101 K101

= -0.031.