For Questions 1-3, consider the following game.

The players are two firms competing in a market. Firm 1 could be in a strong or a weak financial position.  Firm 1 knows whether it is Strong or Weak.  Firm 2 only knows that Firm 1 is Strong with probability 1/3 and is Weak with probability 2/3.  Both firms can choose either high, H, or low, L, prices. The payoffs are as follows:

1

The ex-ante normal form associated with this Bayesian game is:

The answer is (A)

2

The following is a Bayesian-Nash equilibrium of this game:

(A)  Player 1 puts probability 1/2 each on HH and HL and probability 0 on LH and LL: Player 2

plays H with probability 1/2 and L with probability 1/2.

(B)  Player 1 puts probability 0 on HH and HL, probability 1/3 on LH and probability 2/3 on

LL; Player 2 plays H with probability 1/3 and L with probability 2/3.

(C)  Player 1 puts probability 0 on HH and HL, probability 1/2 each on LH and LL; Player 2 plays H with probability 1/2 and L with probability 1/2.

(D)  Player 1 puts probability 0 on HH and HL, probability 1/2 each on LH and LL; Player 2

plays H with probability 1/3 and L with probability 2/3.

The answer is (D)

How to Answer Question 2

·  The ex-ante normal form is given in answer A of Question 1.

·  Checking for best responses indicates that there is no pure strategy Bayesian-Nash equilib-

rium.

·  Consider mixed strategy Bayesian-Nash equilibrium

(A)  Player 1 puts probability 1/2 each on HH and HL and probability 0 on LH and LL: Player 2

plays H with probability 1/2 and L with probability 1/2.

This cannot be an equilibrium because L gives 0 to player 2 and H gives 1 when player 1 puts probability 1/2 each on HH and HL. Hence player 2 is not indifferent as he should be in a mixed equilibrium.

(B)  Player 1 puts probability 0 on HH and HL, probability 1/3 on LH and probability 2/3 on LL;

Player 2 plays H with probability 1/3 and L with probability 2/3.

This cannot be an equilibrium because L gives 0 to player 2 and H gives 1 when player 1 puts probability 1/3 on LH and 2/3 on LL. Hence player 2 is not indifferent as he should be in a mixed equilibrium.

(C)  Player 1 puts probability 0 on HH and HL, probability 1/2 each on LH and LL; Player 2 plays H with probability 1/2 and L with probability 1/2.

L and H both give 0 to player 2 when player 1 puts probability 1/2 on LH and LL. However, this cannot be an equilibrium because LH gives 4.5 to player 1 and LL gives 3.5 when Player 2 chooses H and L with probability 1/2. Hence player 1 is not indifferent as he should be in a mixed equilibrium.

(D)  Player 1 puts probability 0 on HH and HL, probability 1/2 each on LH and LL; Player 2 plays H with probability 1/3 and L with probability 2/3.

This is a mixed strategy equilibrium.  L and H both give 0 to player 2 when player 1 puts probability 1/2 on LH and LL, hence he is indifferent. LH gives 14/3 to player 1 and LL also gives 14/3 when Player 2 chooses H with probability 1/3 and L with probability 2/3. Hence player 1 is indifferent as he should be in a mixed equilibrium. Finally, when Player 2 chooses H with probability 1/3 and L with probability 2/3, Player 1 obtains 13/3 form HH and also 13/3 from HL, both are less than 14/3.

3

How much would Firm 2 be willing to pay to discover whether Firm 1 is Weak or Strong?  [ Hint: With discovery, the outcome is with probability 1/3 the Nash equilibrium of the game when Firm 1 is known to be Strong and with probability 2/3 the Nash equilibrium of the game when Firm 1 is known to be Weak. ]

The answer is 0

How to Answer Question 3

· If it is commonly known that Firm 1 is strong, the payoff matrix is simply the one on the left

hand side.

L is a dominant strategy for Player 2 here. Given that player 2 will play L, the best response of player 1 is L. Hence the only Nash equilibrium is (L, L), with a payoff of 0 for Player 2

· If it is commonly known that Firm 1 is weak, the payoff matrix is the one on the right hand

side.

There is no pure strategy Nash equilibrium.  The only Nash equilibrium involves Player 1 playing H with probability 2/3 and L with probability 1/3, while Player 2 plays H with probability 1/3 and L with probability 2/3. Player 2’s equilibrium payoff is 0.

·  Thus if Player 2 knows the state his payoff is 0, the same as when he knows the state. Hence

the amount that Firm 2 is willing to pay is 0.

4

There are many sellers of used cars. Each seller has exactly one used car to sell and is characterised by the quality of the used car he wishes to sell.  The quality of a used car is indexed by θ, which is uniformly distributed between 0 and 1. If a seller sells his car of quality θ for price p, his utility is p - θ 1 .  If he does not sell his car, his utility is 0.  Buyers of used cars receive utility θ - p if they buy a car of quality θ at price p and receive utility 0 if they do not purchase a car. There is asymmetric information regarding the quality of used cars. Sellers know the quality of the car they are selling, but buyers do not know its quality.

Find the highest equilibrium market price p of used cars.

The answer is 0.25

5

Consider a second price auction for a single item with two bidders.  Suppose the bidders have independent private values, uniformly drawn in the interval [0 , 1]. Suppose the seller sets a reserve price p = 0.5; that is, only bids above p = 0.5 can win. If a bidder bids above p and the other bids below p, then the first bidder wins and pays a price p. If both bid above p, then the highest bidder wins and pays the second highest price.

In the Bayesian equilibrium in undominated strategies, what is the probability that the item will not be sold?

The answer is 0.25

How to Answer Question 5

The item is not sold if both bidders bid below the reserve price p  = 0.5.   In the Bayesian equilibrium in undominated stratetegies, bidders bid their values. As a result, the probability that the object will not be sold is equal to the probability that both bidders have a value below 0 .5. Given that the value distribution is the uniform distribution for both bidders, the probability that one bidder has a value below 0.5 is 0.5. Hence the probability that both have a value below 0 .5 is 0.5 . 0.5 = 0.25.

B Each bidder i bids his own value v乞

C Each bidder i bids 1/2 of his own value v乞 .

D Each bidder i bids 2/3 of his own value v乞

The answer is (C)

9

Which of the statements below is false for the following three-player, extensive form game with imperfect information:

(A)  There are two pure strategy subgame perfect equilibria

(B)  There is a mixed strategy subgame perfect equilibrium in which Player 2 randomizes between

L and R

(C)  There is a subgame perfect equilibrium in which the payoff of Player 1 is 3

(D)  There is a subgame perfect equilibrium in which the payoff of Player 1 is 1

The answer is (D)

10

Consider the following two-player extensive form game with imperfect information:

For what values of p would player 1 choose R in a subgame perfect equilibrium?

The answer is p ● 0.6

For Questions 11-13, consider the following game.

Two rival firms — Firm 1 (Player 1) and Firm 2 (Player 2) are deciding simultaneously on the location to launch their latest products. Each of them can choose to launch their product in either the Red State (action R) or the Blue State (action B).  A new initiative of boosting the economy in the Red State may take place, which will change the payoffs to the firms.  Firm 2 only knows that there is a probability of 1/2 that the initiative will be carried out. Firm 1, on the other hand, has insider information and knows exactly whether there will be an initiative.  The payoffs are as follows:

11

The ex-ante normal form associated with this Bayesian game is:

The answer is (B)

12

Which of the following statements is false?

(A)  (BR, R) is a Bayesian-Nash equilibrium of this game

(B)  (RB, R) is a Bayesian-Nash equilibrium of this game

17

Consider a second price auction for a single item with two bidders. Suppose bidder 1 has value uniformly drawn in the interval [0, 1], while bidder 2 has value 0.4

In the Bayesian equilibrium in undominated strategies, what is the seller’s expected revenue? The answer is 0.32

18

Consider a first-price auction for a single item with 3 bidders.  Suppose the bidders have inde- pendent private values, uniformly drawn in the interval [0 , 1]. Bidders submit bids and the highest bidder wins the item. Which of the following statements is true?

A Each bidder i bids 3/4 of his own value v乞 .

B Each bidder i bids his own value v乞

C Each bidder i bids 1/2 of his own value v乞 .

D Each bidder i bids 2/3 of his own value v乞

The answer is (D)

19

Which of the statements below is true for the following three-player, extensive form game with imperfect information:

(A)  There are two pure strategy subgame perfect equilibria

(B)  There is a mixed strategy subgame perfect equilibrium in which Player 1 randomizes between

In and Out

(C)  There is a subgame perfect equilibrium in which the payoff of Player 2 is 1

(D)  There is a subgame perfect equilibrium in which the payoff of Player 1 is 1