2. Let  X = (Xt)t≥0   be a continuous semimartingale with values in  R , let  St  = sup0≤s≤t Xs    and It  = Ss ds  for  t ≥ 0 , and let  F : R3  → R  be a  C2,1,1   function.

(2.1)   Apply Itˆo’s formula to  F(Xt,St,It)  for  t ≥ 0 . Determine a continuous

local martingale  (Mt)t≥0   starting at  0  and a continuous bounded

variation process  (At)t≥0   such that  F(Xt,St,It) = Mt+At   for  t ≥ 0 .         [5 marks]

Let  B = (Bt)t≥0    be a standard Brownian motion started at zero, let  X = (Xt)t≥0    be a non- negative stochastic process solving

dXt  = 3dt + 2XtdBt      (X0  = 0)

and let  F(t,x) = tx2   for  t ≥ 0  and  x ∈ R+  .

(2.2)   Explain why Itˆo’s formula can be applied to  F(t,Xt)  for  t ≥ 0 .

(2.3)   Apply Itˆo’s formula to  F(t,Xt)  for  t ≥ 0 . Determine a continuous local martingale  (Mt)t≥0   starting at  0  and a continuous bounded   variation process  (At)t≥0   such that  F(t,Xt) = Mt+At   for  t ≥ 0 .

(2.4)   Show that  (Mt)t≥0   in (2.3) is a martingale and compute M,Mt for  t ≥ 0 .

(2.5)   Compute  E(τ)  when  τ = inf {t ∈ [0, 5] : Xt  = 1 −t/5 } .

[3 marks]

[5 marks]

[6 marks] [6 marks]

3.  Let  B  = (Bt)t≥0    be a standard Brownian motion started at zero, let  St   = sup0≤s≤t Bs    and It  = inf0≤s≤t Bs   for  t ≥ 0 , and let  F : R+×R ×R+ ×R−  → R  be a  C1,2,1,1   function.

(3.1)   Explain why Itˆo’s formula can be applied to  F(t,Bt,St,It)  for  t ≥ 0 .

(3.2)   Apply Itˆo’s formula to  F(t,Bt,St,It)  for  t ≥ 0 . Determine a continuous local martingale  (Mt)t≥0   starting at  0  and a continuous bounded            variation process  (At)t≥0   such that  F(t,Bt,St,It) = Mt+At   for  t ≥ 0 .

(3.3)   Show that if  Ft(t,x,s,i)+Fxx(t,x,s,i) = 0  for all  (t,x,s,i)  with Fs(t,x,s,i) = 0  for  x = s  and  Fi(t,x,s,i) = 0  for  x = i , then     F(t,Bt,St,It)  is a continuous local martingale for  t ≥ 0 .

(3.4)   Show that  (St − Bt)4 +(Bt − It)2 − (6t − 1)(St − Bt)2 +3t2 − 2t  is

a martingale for  t ≥ 0 .

[5 marks]

[6 marks]

[6 marks]

[8 marks]

4.  Let  B = (Bt)t≥0    be a standard Brownian motion started at zero, and let  M stochastic process defined by

Mt  = 0et − 1 dBs

for  t ≥ 0 .

(4.1)   Show that  M  is a standard Brownian motion.

(4.2)   Compute  E(1+Mt)2 M ds for  t ≥ 0 .

(4.3)   Compute  E(1+Mt)2 M dMs for  t ≥ 0 .

(4.4)   Consider the process  Z = (Zt)t≥0   defined by

Zt  = f(t)Bet − 1

for  t ≥ 0  where  f : R+  → R  is a  C1   function. Using Itˆo’s formula examine whether  f  can be chosen so that  Z  solves

dZt  = − Zt dt + dMt      (Z0  = 0).

If this is possible, determine  f  explicitly.

= (Mt)t≥0    be a

[5 marks] [6 marks] [6 marks]

[8 marks]

5. Let  B = (Bt)0≤t≤T   be a standard Brownian motion started at zero under a probability measure P , and let = (t)0≤t≤T   be a stochastic process defined by

t  = Bt  − 0t Bs eBs I(Bs  ≤ −1) ds

for  t ∈ [0,T] , where  T > 0  is a given and fixed constant.

(5.1)   Determine a probability measure under which is a standard

Brownian motion.

(5.2)   Compute ( sdBs+t − sBs eBs I(Bs  ≤ −1) ds)2 for  t ≥ 0 . (5.3)   Compute  E(|τ|)  when  τ = inf {t ≥ 0 : Bt  = − 1  or  Bt  = 2 } .

(5.4)   Compute e6(Bσ −0σ BseBs I(Bs≤−1) ds) − 18σ and e− 18σ when σ = inf {t ≥ 0 : Bt  = + Bs eBs I(Bs  ≤ −1) ds} .

[7 marks] [4 marks] [7 marks]

[7 marks]

(Recall that denotes expectation under , and  E  denotes expectation under  P .)

6.   Let  B  =  (Bt)t≥0    be a standard Brownian motion started at zero.   Consider the stochastic differential equation

dXt  = (1+2Xt)dt + (3+Xt)dBt