Formulae

Power series

Definite integral

Perturbation Expansions

Trigonometric Identities

where u(0) = 1 and 0 <  << 1.

(c)  Solve the Fredholm integral equation

where f (x) and K(x, s) should be specified.

(e)  Consider the problem of minimising the functional

in the set of admissible functions

Write down the Euler-Lagrange equation and determine the only solution u to this equation in the set A.

2.   (a) Use Laplace’s method to obtain the leading term in the asymptotic expansion as x → o of the following integral

Provide justifications for any approximations that you use to derive the result. [10] (b)  Consider the following initial value problem

where 0 <  < 1 is a small parameter with

Use the Poincar´e-Linstedt method to show that a uniformly valid expansion of the solution to this problem is given by

where 

3.   (a)  Consider the Fredholm integral equation

i. Use the method of successive approximations to generate a Neumann series approximation to this equation that is valid for |λ| < A where A needs to be determined.

ii.  Calculate the first three iterated kernels and determine an expression for the resolvent kernel. Hence derive a closed from expression for the solution of the equation.

(b) Find the eigenvalues and eigenfunctions of the integral equation

where f (x) and g(x) are real-valued continuous functions satisfying

With reference to these integral properties, explain why f (x) and g(x) are linearly independent.

4.  Consider the problem of minimising the functional:

over the set of admissible functions

(a) Write down the weak Euler-Lagrange equation for the minimisation problem as- sociated with the functional. 

(b) Find the solution for the corresponding Euler-Lagrange equation.

(c) Write the second variation of the functional.