Question 1

An investor models the returns of a mutual fund via a linear regression model using       Carhart’s (1997) factors as explanatory variables. The sample size is 100 observations, the residual sum of squares is 5, and the explained sum of squares is 10. The level of   significance is 5%.

a.   Write down the regression model which uses Carhart’s factors as explanatory variables and define the variables.

[5 marks]

b.  What is the formula, in matrix notation, which provides the ordinary least squares estimators  for  the  model?  Define  the  dimensions  of  the  vectors  and  matrices appearing in the formula.

[5 marks]

c.  How would you test the statistical significance of each one of the regressors on a stand-alone basis? In which case would you reject the null hypothesis of no          significance?

[5 marks]

d.  Calculate the  F-statistic to  assess the  null  hypothesis of no significance of the regressors. In which case would you reject the null hypothesis?

[5 marks]

e.  Define Carhart’s (1997) alpha and explain how you would test whether a mutual fund delivers a positive Carhart’s (1997) alpha.

[5 marks]

Question 2

a.  Let the stocks of IBM, Google and Amazon. You have a time series of observations for each stock. The sample size is T. Explain in detail, all steps which are necessary to compute the sample variance-covariance matrix of the three stocks.

[5 marks]

b.  Explain in detail how the implied volatility of an option can be computed.

[5 marks]

c.  Prove that the duration of a zero-coupon bond equals its maturity.

[5 marks]

d.  Do you agree with the statement “Let a fixed income portfolio which has a duration equal to zero. This portfolio is subject to no interest rate risk.”

[5 marks]

e.  Consider two bonds A and B with payments  , where  . Both bonds have $1,000 face value. Bond A has just been issued, it bears coupon rate of 7%,   and it will mature in 10 years. Bond B was issued 5 years ago, when interest rates   were higher. This bond has $1,000 face value and bears a 13% coupon rate. When issued, this bond had a 15-year maturity, so its remaining maturity is 10 years. The  yield to maturity is 7% (see Cell B2). Using the Excel spreadsheet below, estimate   the duration of each of the two bonds A (Cell B20) and B (Cell E20), using the          mathematical formula of the Macaulay duration measure. Which bond has the          longest duration? Show your calculations and interpret your results.

[5 marks]

Question 3

a.  Suppose we form  a  portfolio  invested  in  Mercedes  and  BMW  stocks.  The two stocks are equally weighted in the portfolio. The spreadsheet below displays each

stock’s mean return, variance, and standard deviation, as well as their covariance. Estimate the mean and variance of this portfolio, as well as its standard deviation. Show in detail your calculations.

[5 marks]

d.  Consider  two  portfolios,  x  and  y,  whose  convex  combinations  compose  the envelope frontier in the graph below (curve ABC). Also marked, are other portfolios, some of which  contain short  positions of either x or y.  Do you agree with the statement “Every convex combination of any two efficient portfolios is efficient”? Explain your answer.

[5 marks]

e.  Let us now compute an envelope portfolio with constant  where the vector z solves  the  system  of  simultaneous  linear  equations   .  Then,  this solution produces a portfolio x and y on the envelope of the feasible set. Write down and explain the Excel formula used to calculate the values in Cells A20, F20, F24 (portfolio  weights  and  sum  of  portfolio  weights),  F26:F28  (mean,  variance  and standard   deviation),   and   B30:B31   (covariance,   correlation),   in   the   Excel spreadsheet below:

[5 marks]

Question 4

a.  Why is it desirable to conduct Monte Carlo simulations using as many replications of the experiment as possible?

[5 marks]

b.  Explain in detail how pseudo-random numbers are generated in Excel.

[5 marks]

c.  In  which  range  of  numbers  do  we  expect  the  random  numbers  drawn  from  a standard normal distribution to fall? Explain why.

[5 marks]

d.  Marcus is 45-year old. He has a new job and intends to save £10,000 today and in each of the next 14 years (15 deposits altogether).

He is considering to invest in an investment policy in which he would invest 30% of his assets in a risk-free bond with 3% continuously compounded annual interest and the remaining 70% in a risky asset that has lognormally distributed returns with mean μ = 12% and standard deviation σ = 35%.

Marcus applied  Monte Carlo simulation to decide whether he should  invest  her money in this investment strategy. The Excel spreadsheet below reports the end-of- year wealth based on one simulation that he conducted.

Write down and explain the Excel formula used to calculate the yellowed values in cells E11 and F11, in the Excel spreadsheet below: