1 (of 4).     Throughout this question, let U be an algebraically closed field and let V = An .

Recall that  V  has coordinate algebra A  =  U[X1 , . . . , Xn],  the polynomial algebra over U in n indeterminates.

(a)   Let S C A be any subset.

(i)   Define the set v(S).

(ii)   Recall that subsets of the form v(S) as in part (i) are called algebraic

sets.  Show that the intersection of two algebraic sets is algebraic.

(b)   Let U  =  C.   Decide whether or not each of the following subsets of

affine space is algebraic, justifying your answer in each case.  Write the statement of any result you use clearly:

(i)   {(t, t2 - 1) l t e U} c A2 ;

(ii)   k, the set of integers, considered as a subset of A1 ;

(c)   What is projective n-space Zn ?

(d)   What is meant by a homogeneous polynomial in A?

2 (of 4).     Let U be an algebraically closed field, let V be a set and let A be a U-algebra

of U-valued functions on V . Recall that HomU −alg (A, U) denotes the set of all U-algebra homomorphisms from A to U.

(a)   Given v e V , define the map evaluation at v , fv  e HomU −alg (A, U) (you

do not need to prove any properties of this map).

(b)   Write down what it means to say that the pair (V, A) is an affine variety

over U.

(c)   Suppose (V, A) is an affine variety over U, let S C A and let U = v(S). Explain how to define an algebra B of functions on U so that (U, B) is an affine variety.  Explain why the algebra you have defined is finitely generated.

(d)   Let V = An with coordinate algebra A = U[X1 , . . . , Xn], and let W = Am with coordinate algebra B = U[Y1 , . . . , Ym].  Recall that a map φ : V → W is called a morphism if f o φ e A for all f e B.  Determine whether the following maps are morphisms, justifying your answer in each case:

(i)   V = A1 , W = A2 , φ : V → W given by φ(t) =  (t + 3, t2 ), with U = C;

(ii)   V = A1  = W , φ : A1  → A1 given by φ(t) = t (complex conjugation),

with U = C.

4 (of 4).

(a)   You are given that A is an integral domain. Explain how to construct the

field of fractions of the algebra A, and give a definition of the addition and multiplication rules in this field  (you do not need to prove that anything you write down is well-defined). 

SOLUTIONS: MAT00001M

1.               (a)   (i)   v(S) := {v e V l f(v) = 0 for all f e S}, where we view polynomi-

(ii)   The result is that v(S) n v(T) = v(S u T).  To see this, suppose

v e v(S) n v(T).  Then f(v) = 0 for all f e S and f(v) = 0 for

all f e T; hence f(v) = 0 for all f e S u T.  On the other hand,

/            '

(b)   (i)

{(t, t2 - 1) l t e U} c A2 ; Clearly, {(t, t2 - 1) l t e U} c v(X2 -Y - 1). On the other hand, if (a, b) e v(X2 - Y - 1), then a2  = b + 1, and so

b = a2 - 1. Thus (a, b) = (a, a2 - 1) e {(t, t2 - 1) l t e U}. Therefore

/            '

(ii)   k, the set of integers, is an infinite proper subset of A1 .  As proper

algebraic subsets of A1  must be finite (as seen in the lect_(ur)e), k i、(s)

not an algebraic set.                                                                7 Marks 

(c)   Zn  (as we defined it) is the set of equivalence classes of points of Un+1 \

{(0, . . . , 0)} under the relation v ~ w if and only if v = λw for some/            '

(d)   An element f e A is homogeneous of degree d > 0 if f can be written as a linear combination of monomials X1(i)1 X2(i)2  . . . Xn(i)n   with     .、

Remarks.      Part  (a)(i)  is  a standard definition  and part  (a)(ii)  is  book- work. Part (b) consists of examples very similar to those seen in class and in homeworks. Parts (c) and (d) are standard definitions.

_                              、

 Total: 30 Marks 

_              、

2.                (a)    Given v e V , fv  is defined by fv (f) = f(v) for all f e A.         /5 Marks'

(b)   We need A to be finitely-generated as a U-algebra, and we need  the map

(c)   We define  B  by restricting the domain of functions from  A;  that is/            '

A is finitely generated since (V, A) is an affine variety.  Then B is gen- erated by the restriction to U of the generators of A, so B is finitely

generated.

_             、

 4 Marks 

/             '

(ii)   Not a morphism.   We  need to show that there is no polynomial

f e U[X] with f(t) = t for each t e C.  Any such f can only have 0 as a root, so is a power of X.  But no power of X fixes all real

numbers, unlike complex conjugation.  So no such f exis_(ts), and 、(φ)

cannot be a morphism.                                                           5 Marks 

Remarks.     Part (a) and (b) are standard definitions.  Part (c) is a stan- dard definition together with bookwork. Part (d)(i) is new but similar to seen examples. Part (d)(ii) is an example from a problem sheet.

_                              、

 Total: 25 Marks 

3.               (a)   V is irreducible if V cannot be written as the union of two proper closed

(b)   We prove this by contrapositive:  suppose φ : V → W is surjective and

W = C1  u C2  is reducible (so C1 , C2  are proper closed subsets of W). Then φ is a continuous map, so φ − 1 (C1 ) and φ − 1 (C2 ) are closed in V , and V = φ − 1 (C1 ) u φ − 1 (C2 ). Since C1  and C2  are proper and φ is surjective, φ − 1 (C1 ) and φ − 1 (C2 ) are proper too (if V = φ − 1 (Ci ) for some i, then

W = φ(V) = φ(φ− 1 (Ci )) = Ci ).  Thus V is reducible too.  This proves/            '

(c)   (i)   We write Y (XY - Z2 ) - Z(X - YZ) = XY2  - XZ = X(Y2  - Z).

Hence any common solution of XY - Z2  = 0 and X - YZ_= 0 als、(o)

satisfies X(Y2  - Z) = 0.                                                           3 Marks 

(ii)   Suppose (a, b, c) is killed by the three given polynomials. Then a = 0

because we have to be killed by X, but then XY - Z2  gives rise to

c = 0 as well. Now note that any point (0, t, 0) does satisfy the three/            '

(iii)   Suppose (a, b, c) satisfies the three given polynomials. Then the third

polynomial gives c = b2 , and then the first gives a = b3 .  Hence ev-

ery point satisfying these polynomials has the given form.  On the

other hand, every point of the given form clearly satisfies _(t)he thre、(e)

polynomials.                                                                            3 Marks 

(iv)   Let the algebraic set from (b) be denoted C1  and the set from (c)

be denoted C2 .  Then C1  and C2  are the images of A1  under sur- jective morphisms t ,→ (t, 0, 0) and t ,→ (t, t5 , t2 ), respectively.  A1 is irreducible, since C[X], its coordinate algebra, is an integral do-

main.  The image of an irreducible set is irreducible, so _(C1) and C、(2)

are irreducible.                                                                        2 Marks 

Now, the inclusions (XY - Z2 , X, X - YZ）2 (XY - Z2 , X - YZ）

and (X - YZ, XY - Z2 , Z - Y2）2 (XY - Z2 , X - YZ）imply that

C1 and C2 lie inside U. On the other hand, part (a) shows that every

point of U also satisfies the polynomial X(Y2 - Z) and hence lies in

C1  or C2  (since X and Y2 - Z are the extra generators for the ideals

(XY - Z2 , X, X - YZ） and (X - YZ, XY - Z2 , Z - Y2）, respec-

tively). Thus U = C1 u C2  and since there are no mutual inclusions/            '

Remarks.   Part (a) is a standard definition and part (b) is bookwork. Part (c) is  an unseen  example,  similar to  ones seen in lectures  and on problem sheets.

_                              、

 Total: 25 Marks 

4.               (a)   We define an equivalence relation on Ax(A\{0}) by (a, b) ~ (c, d) if and

only if ad = bc.  Then write the equivalence class of a pair (a, b) under

this relation as  .  The addition rule is  +  =   and multiplication

is  .  =  .                                                                                       /(_)6 Marks

(b)   V is a rational curve if V is irreducible and the field of fractions of the/            '

(c)   In this case,  if we let X0   =  XlV   and Y0   =  Y lV ,  then we have the coordinate algebra of V is A  = U[X0 , Y0].   We’re given that A is an integral domain, so we can define T in the field of fractions by T =  , so that Y0   = TX0 .  Since, in A, we have X0(3)  + X0(2)  - Y02   = 0, we can substitute in to get

X0(3) + X0(2) - T2X0(2)  = X0(2)(X0 + 1 - T2 ) = 0.

Since X0  is not identically 0, we conclude that X0  = T2  - 1 and hence Y0  = T3 - T.

This shows that the field of fractions of A is generated by the single element T, and since the reverse inclusion is obvious, we have that the

field of fractions of A is equal to U(T).

Thus V is a rational curve.

_               、

 10 Marks 

/               '