Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Prob and Stat

Homework 9

Problem 1

Suppose (X, Y) has a joint pdf f (x, y) = e-x I(0<y<x<o} . Find

(a)  fX (x) and fY (y)

(b)  fX|Y (x|y) and fY |X (y|x)

(c)  E(X|Y) and E(Y |X)

(d)  Var(X|Y) and Var(Y |X)

Problem 2

Suppose we have created a portfolio, where we invest a unit in bond A and 1 [ a unit in bond B. Let X and Y be the return of one unit bond A and one unit bond B respectively.  Denote the mean and variance as µX , µY , and σX(2) , σY(2) . Assume ρ is the correlation coefficient between X and Y . What is the average return and risk of the portfolio?  Find a*  that minimize the investment risk. (Hint: Risk can be considered as variance of return from the whole portfolio.)

Problem 3

Suppose (X, Y) has density af1 (x)g1 (y)+(1 [a)f2 (x)g2 (y), where a is a constant between 0 and 1, f1 , f2 , g1 , g2  are univariate densities with means µ 1 , µ2 , ν1 , ν2 .

(a)  Show that the marginal density of X is fX (x) = af1 (x) + (1 [ a)f2 (x). (b)  Show that X and Y are independent if and only if

[f1 (x) [ f2 (x)][g1 (y) [ g2 (y)] = 0.

(c)  Show that cov(X, Y) = a(1 [ a)(µ1 [ µ2 )(ν1 [ ν2 ).

Problem 4

For any two random variables X and Y with finite variances, prove that

(a) X and Y [ E (Y | X) are uncorrelated.

(b) var[Y [ E (Y | X)] = E[var(Y | X)].

Problem 5

Write a summary of Chapter 5. You can design your own summary style.