Advanced Mathematical Economics

Part A

Suppose all households are endowed with broken mobile phones. Half of the households have new model broken phones, and half have old model broken phones. They sell their broken phones.   Repair shops hire workers and buy broken phones, and sell working phones (both models).  Factories hire workers and make (working) new model phones. Households choose how many phones of each type to buy, and how much labour to supply.

(i) Write down a competitive model of the four phone markets (broken/working, new/old model) and the labour market.

(ii) Recall f : Rn  → R is strictly concave if for all t ∈ (0, 1), and all x, x′  ∈ Rn , tf (x) + (1 − t)f (x′) < f (tx + (1 − t)x′).

Suppose there are 10 repair shops, and their production function is strictly concave. Prove that all 10 repair shops repair the same number of phones.

(iii)  Suppose the phone manufacturer buys all of the repair shops.   Write down the

conglomerate’s profit function using a Bellman equation.

(iv) Calculate the marginal repair shop profit of a wage increase.

Part B

(i) Let fn(x) =  and A = {fn  : n ∈ N}. Is A a compact set inside (B[0, 1], d∞)?

(ii)  Let F = B((0, 1)) be the set of bounded functions with domain (0, 1) and co-domain R. Consider the sequence of functions fn  ∈ F defined by fn(x) = . Find a metric d such that (F, d) is a metric space and fn  is not convergent.

(iii) Find a counter-example to this false conjecture.  Suppose (X, dX ) and (Y, dY) are metric spaces. Consider the metric space (Z, dZ), where Z = X × Y and

dZ (x, y; x′ , y′) = dX (x, x′) + dY (y, y′).

If A is a closed set inside (Z, dZ), then AX   = {x : (x, y) ∈ A} is a closed set in (X, dX ).

(iv) Consider the metric spaces (X, dX ), (Y, dY) and (Z, dZ) and sets A and AX  defined in the previous question. Prove that if A is a compact set inside (Z, dZ), then AX is a compact set inside (X, dX ).

(v) Let (X, d) be a compact metric space, A be a closed set, B be a closed set with A ⊂ B.  Prove that there exists a continuous function f : X → R such that (i) f (x) = 0 for all x ∈ A, and (ii) f (x) > 1 for all x ̸∈ B .  Hint:  You may make use of the following theorem without proving it: d is continuous.