Advanced Mathematical Economics

Part A

Suppose that half of the houses in a city are in polluted areas.  Residents in polluted areas suffer health problems, and can only do unskilled work. Apart from this problem, all workers can do skilled and unskilled work.  A firm hires skilled and unskilled work-

ers to make furniture.  Workers are endowed with a house and hours which they can sell.  Workers can buy houses and furniture.  Workers can not live together (due to fire regulations).

(i) Formulate a competitive model of the housing, labour and furniture markets.

(ii) Reformulate the worker’s problem using a Bellman equation with a a housing choice, and with the other choices buried inside a value function.

(iii) Write down a formula for the marginal profit of a skilled wage increase.

(iv) Suppose that the firm’s production function is strictly concave. Prove that the firm has at most one optimal choice.

Part B

(i)  (easy) Let f : X → Y be a continuous function between two metric spaces (X, dX ) and (Y, dY). Prove or disprove that f (∂A) = ∂f (A) for all sets A ⊆ X . Note: ∂A denotes the set of boundary points of A, and f (A) = {f (a) : a ∈ A} .

(ii)  (easy) Consider the metric space (R, d), where d is the discrete metric.  Find a contraction f : R → R on this space.

(iii)  (easy) Consider the sequence fn  : N → [0, 1] defined by

Prove that this sequence is not convergent in (B(N), d∞).

(iv)  (medium) Find a metric d such that the sequence fn   in the previous question converges to f∗ (x) = 1.

(v)  (medium) Let X = [0, 1).  Find a metric d such that (X, d) is a compact metric space.

(vi)  (medium) Suppose you are considering buying a house at market price p, which you value at v. But you don’t want to buy if it has any (major) defects. You have taken a quick look already, and you think the probability of defects is q. You can pay inspectors c for conditionally independent reports about the house, which have type 1 and 2 errors of x and y.  Each day, you choose whether to buy the house,

to buy another report, or to give up.  You discount days at rate β.  You have a Bellman equation

V(q) = max {0, qv − p,

Prove that the optimal policy involves giving up for low q, i.e. there exists q1  ∈ [0, 1] such that giving up is optimal for all q ∈ [0, q1].

(vii)  (hard) Define