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(3)  George and Hugo play a board game. The aim of each round is to capture opponent’s commander, which is a unique tile, hidden among many other tiles. For each round, Hugo wins with probability , otherwise George wins. The winner gets 50 points and the loser loses 50 points per round.  A game is finished when one person wins two rounds in total. They sum up the points they gain or lose in each round and the final winner of the day is the player with more points.

(a)  Calculate the expected points (win/loss) for George in each game.

[8 marks]

(b) After  losing  4  games  consecutively  and  winning  no  game  today,  George

discovered  a  way  to  cheat  by  making  a  tiny  mark  on  the  edge  of  Hugo’s commander tile so that he can identify the tile at all time.   Now they are going to play a final game for the day with 10 times the usual points.  In this game, George cannot cheat in the first round as he can only mark the tile in the reshuffle phase after the first round.  He can choose to mark the tile after first or second round and he will always cheat afterwards. If George cheated in the game, then he will win all the rounds afterwards. However, Hugo has a 40% chance to find out immediately after the game and in this case George loses the game in the worst possible case, i.e. a lose 1000 points to Hugo. George is not sure if he should take the risk, so he will make his decision by maximizing his expected points.

(i)  Suppose George won 1 round and lost 1 round in this final game without cheating.  By calculating the conditional expectations given he cheated or not in the third round, decide if he would cheat or not in the third round (i.e. mark the tile in between the second and third round) to maximize his expected points in the final game.                                                [8 marks]

(ii)  Suppose George won in the first round. Would he cheat in the second round

so that he can maximize his expected points in the final game?  Calculate this maximum expected points.                                                    [6 marks] (iii) Determine the optimal strategy, i.e. the optimal time to start cheating (or not cheating at all) for George to maximize his expected points in the final game.  Calculate the expected points for the final game using the strategy

(4)  James want to sell his house and would like to take the best offer in the market. Suppose there are N offers in the market. The offers only arrive sequentially, where he can examine each offer and then must decide whether to accept or reject it. Once rejected an offer cannot be reconsidered.  For simplicity, assume the offers are independent and uniformly distributed on [500, 600].  Let X := 乒Xn (0SnSN  by the sequence of offers.

(a) Write down the Snell envelope of X, denoted by Z := 乒Zn (0SnSN .    [4 marks]

(b)  (i)  Compute E[ZN 21].                                                                          [4 marks]

(ii)  Suppose Zn  = max(Xn , an ) for some sequence 乒an (0SnSN.  Using (b)(i) or

otherwise, prove that an  satisfies the following recurrence relation:

[6 marks] (c) Determine the stopping time τ at which James should accept an offer.

[4 marks]

(d) For each of the following list of offers, determine the offer accepted by James. Assume that there will be no more offers coming after the list ends in each situation. The lists are in chronological order.

(i)  540, 560, 580, 600;

(ii)  560, 550, 540, 530, 520;

(ii)  520, 580, 530, 570, 590, 560.

[6 marks]