Department of Engineering Mathematics

EMAT20920: Numerical Methods in MATLAB

COURSEWORK ASSESSMENT

Question 1:    Root-finding

(a) Find all the solutions of the following equations in the given intervals, accurate to 14 significant

figures, using built-in Matlab commands. In all cases, you should give sufficient evidence for your answers, and state:

• the number of solutions in the interval,

• the values of the solutions,

• the Matlab command(s) used to find them.

(i) tan3(x) + π = cot(x), for −2π ⩽ x ⩽ 2π ,

(x − 2)2 p|x + 3| = e −x4/9, for −2π ⩽ x ⩽ 2π ,

(iii) Z0m x2 e −x/2  dx = 8, for 0 ⩽ m < ∞,

(6 marks)

(b) Consider a root-finding method that finds solutions of f(x) = 0, for a function f  : R 7→ R, by

successively refining a bracketing interval as follows:

• Suppose that [a,b] is a bracketing interval.

• Compute m and n, two candidate endpoints for a new bracketing interval1, as follows:

• If f(m) and f(n) are of opposite sign then use n and m as the endpoints of the new bracketing interval.

• Else, use

◦ a and n, if f(a) and f(n) are of opposite sign,

◦ n and b, if f(b) and f(n) are of opposite sign

as the endpoints of the new bracketing interval.

(i) Write a Matlab function that uses the algorithm above to find a root x⋆  of a given function f , to a desired tolerance ϵ, given an initial bracketing interval [a,b]. Together with your function, you should describe any tests you have used to ensure that it works correctly.

(6 marks)

(ii) Use your function to find the order of the root finding method — giving appropriate evidence — when used to find roots of the function f(x) = e −x −x in the interval x = [0, 2], correct to 14 d.p.

(3 marks)

(iii) Describe the strengths and weaknesses of the method, in comparison to the bisection and

Newton-Raphson methods.

(1 mark)

(c) For what values of k will the fixed-point iteration

converge?

(4 marks)

Question 2:    Numerical integration and differentiation

(a) Write a Matlab function that uses Simpson’s rule to find the value of the function F given by

correct to 8 decimal places, given values x > 0, α > 0, and k ∈ Z with k > 0.  Use your code to plot a single graph of F(x,k,α) as a function of x, for values k = 1, 2, 3 and α = 1, 2, 3.

(6 marks)

(b) The expression

can be used to approximate the integral R f(x) dx.

Write a MATLAB function that calculates a numerical approximation to an integral R f(x) dx

using a composite version of equation (1) with N panels; i.e., where the interval [α,β] is divided into N equal-width intervals of width h = (β − α)/N, on each of which we use equation (1).

Use your function to find

(i) The number of panels N (correct to 1 s.f.)  needed to calculate the value of R01 ex   dx to 12 decimal places.

(ii) The degree of accuracy of the integration rule.

(iii) The order of the composite rule.

(8 marks)

(c) Write a Matlab function that computes a reasonable numerical approximation to the Jacobian matrix

given a vector field f : Rn 7→ Rn with (Cartesian) components

i.e., where each component of f , fi, is a function of the n co-ordinates x1,x2,x3,...,xn.  Your function should have as inputs the function representing the vector field f and the point at which the Jacobean is to be evaluated x = x0 .

(b) Using your functions from part (a), solve the ODE