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PS 2

1.  Consider a Merton-Black-Scholes model with r = 0.05,σ  = 0.2, T = 0.5 years,  S(0)  =  100,  and  a put option with the strike price  K  =  100. Using the normal distribution table, or a software program that computes normal distribution values, find the price of the put option, when there are no dividends. However, you are not allowed to use an option price calculator. In other words, you are required to use the Black-Scholes formula. Explain the steps in your computation.

2. Suppose that the stock price today is S(t) = 3.00, the annual volatility is σ = 0.15, and the time to maturity is 4 months.  Consider a contingent claim whose Black-Scholes price is given by the function

V (t,s) = s3 e0.2(T−t)    ,

where the time is in annual terms. What is the claim price today? What is the interest rate equal to?  If the stock at maturity is S(T) = 4.00, what is the payoff of the claim at maturity?

3.   Consider the derivative with the payoff g(S(T)) =  (S(T))5 , in the Black-Scholes-Merton model.  It can be shown that its price at time t has the form C(t,s) = f(t, T)s5  for some function f(t, T).  Find f(t, T) by two methods:

(i) Using martingale risk-neutral pricing.

(ii) Substituting C(t,s) = f(t, T)s5  in the Black-Scholes Partial Differen- tial Equation and identifying the ordinary differential equation for f(t, T).

4.   Consider a Black-Scholes-Merton model with µ = 0.05,  σ  =  0.2, T = 0.5 years, S(0) = 100, and a call option with the strike price K = 100. Using the normal distribution table, or a software program that computes normal distribution values, find the actual (not risk-neutral) probability that the option will be exercised at maturity.  Suppose now that r  = µ = 0.05. Find the Black-Scholes price of the digital option that pays one dollar if S(T) ≥ 100, and zero otherwise.

5.  Find the price at time zero of the claim which pays S(T0)/S(T1) at time T1 , T1  > T0  > 0.  You can assume the Black-Scholes model if you wish.