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MAT1MAB

SPREADSHEET ASSIGNMENT 1

2022

2. Practice Class 3B introduced a diference equation model for retention in the bloodstream of a drug administered hourly. Assuming that three sevenths of the drug in the bloodstream is lost per hour through iltration by the liver, the model is

At+1  = At - x At + d,       A0  = 0

where At  is the amount (mg) in the bloodstream at t hours and d is the hourly dosage (mg).  It follows from the

discussion in Practice Class 3B that this diference equation has closed form solution

x d x (1 - t ) .

(a)  Put the parameter d = 10 in a cell at the top of a new worksheet (and label it).

(b)  Tabulate values of t from 0 to 24 in the irst column (and include a column label).

(c)  Calculate the values of At from t = 0 to t = 24 by iteration [as in Ex.  1 of the Module 2 Spreadsheet Tutorial] in the next column and include a column label.  Make sure you use ‘$-signs’ for the d entry in your formulas, so you can copy down the parameter value you entered in (a) easily.  If you don’t do this, you will ind  part (f) below very diicult (and you will lose marks).

(d)  Use the method of Exercise 2 of the Spreadsheet Tutorial to calculate the values of At  from t = 0 to t = 24 using the closed form solution g(t) in the next column.  Label this column “(7/3)d(1-(4/7)ˆt)”. Again, make sure you use ‘$-signs’ when copying down your formulas.

(e)  Create an x-y scatter plot of the two solution columns; use the Scatter  with  Smooth  Lines  and  Markers option.  Don’t forget that the t values  in the irst column will serve as your x-values in this case.  Since the two graphs should agree exactly, you should only see one of them.

(f)  Use  trial and error to adjust the dosage  parameter d so that the  long term drug  level in the bloodstream approaches 140mg.  Leave d set to this value when you submit your solution.

3. In this exercise, we will  use iteration [as in Ex.  3 of the  Module 2 Spreadsheet Tutorial] to calculate solutions for the SIR epidemic model

It+1  = It + bSt It - kIt ,                                       I0  = 8

Rt+1  = Rt + kIt ,                                                   R0  = 0

and explore the efect of changing the parameters and initial values.  Here t is measured in days.

(a)  Put the parameters b = 0.000011 and k = 0.75 at the top of a new worksheet and label them. (b)  Tabulate values of t from 0 to 90 in the irst column and include a column label.

(c)  Use the  method of Exercise 3 of the module 2 Spreadsheet Tutorial to calculate the values of St , It  and Rt from t = 0 to t = 90 by iteration (and include column labels).  As always, use ‘$-signs’ for the parameter entries your formulas.  It is easiest to drag down the formulas for all three columns at once.

(d)  Create a fourth column using appropriate cell formulas to calculate the total population

St + It + Rt

at each time t and label this column N.  The values  in this column should always be the same.  If they are not, you have made a mistake and should check your work.

(e)  Create an x-y  plot of the solution columns for St , It  and Rt .  You should see an epidemic where the number of infectives peaks at 18 days.

(f)  In another cell in your table calculate the herd immunity for this model (and label it).

(g)  Use trial and error to adjust the recovery parameter k so that the herd immunity is as closeto N/4 as possible. Restrict your value of k to 4 decimal places.  Leave k set to this value for your submission.