1.  Forward  Contracts,  Forward Rates,  and Arbitrage  -  10 points

Your are given the following continuously compounded forward rates:  00;2  = 6:5%, 02;3  = 8:0%, 02;4  = 8:0%, and 02;5  = 8:0%.  You also know that Bond A, which matures at the end of year 5 and pays $10 at the end of year 1 through year 5, has a face value of $100. Its price is $109.76782.

(a)  Compute the forward rate 01;3 .

(b)  Assume the implied prices of all zeros remain the same as in the previous part. If the forward rate 02;3  is now 7.4% instead of 8.0%, is there an arbitrage op- portunity? What would be your investment strategy and how large a profit can you make buying or selling one unit of Bond A? Assume you can buy or sell zero coupon bonds and the new forward contract.

2.  Forward  Contracts, Forward Rates, Arbitrage,  and Pricing  -  10 points

Today is period 0.   Consider the following default-free securities.  A two year zero coupon bond, which pays $1000 in period 2, currently costs $869.36.  A three year annuity that pays $1000 at the end of period 1, 2, and 3, and has a current price of $2,604.94.

(a) A forward contract that matures in period 2 is also available. As you know, the current price is zero, but the buyer of the contract must pay $1837.02 at the maturity of the contract and in return receives a certain amount in period 3. What is the continuously compounded forward rate implicit in this contract if you know that 01;2 = 7:5%? What will be the payoff at period 3?

(b)  A growing bond G pays $1000 in period 1, $2000 in period 2, and $3000 in period 3.  The cost of this bond is $5100.  Provide an investment strategy that will let you make a profit of $28.67 at period 0, or, alternatively, a different strategy that will give you a profit of $32.98 at period 2.

3.  Forwards,  Dollar Duration,  and Risk Management -  10 points

Assume you wish to take a long position in a forward contract with a 2 year maturity. However, this forward contract is not for delivery of a zero-coupon bond on the ma- turity of the forward contract.  On the maturity of the forward contract, this forward contract delivers a four-year coupon bond with annual coupon payments of $80.00 and a face value of $1000.00.

The current annualized forward rates with continuous compounding are as follows:

0r(˙)0;1 = 4%    0r(˙)1;2  = 5%    0r(˙)2;3  = 8%    0r(˙)3;4  = 10%    0r(˙)4;5  = 12%    0r(˙)5;6  = 11%

(a)  Based on the above forward rates, determine the appropriate price that the long position should pay for this four-year coupon bearing bond.  As in all forward contracts, the delivery price will not be paid by the long party until the maturity date of the forward contract.

(b) What is the dollar duration for this particular forward contract which delivers a coupon bearing bond?

(c)  Now assume you have a balance sheet that contains only a single security. This single security is a six-year zero with face value of $4050.75.  The balance sheet has no liabilities. Without selling this six-year zero, how many forward contracts would you go long or short to obtain a delta of zero for your net equity.  (You are to use the forward contract which delivers the four-year coupon bearing bond).

4.  Risk Measurement, Dollar Duration,  Convexity,  and Macaulay  Duration -  10 points

The following discount factors are given:

0 d1  = 0.937067    0 d2  = 0.869358     0 d3  = 0.792550    0 d4 = 0.704688

As a reminder, yield, or Macaulay, duration using continuously compounded yields can be computed as:

Dg  =  .

where B is the price of the bond.

(a) Using continuous compounding, calculate the Dg, the ∆$  and the Γ$  of a 4-year 15% annual coupon bond with face value $1,000;

(b) Assume all shifts in the continuously compounded zero yield curve are uniform. If there is a 200 basis point upward shift in the continuously compounded 1-year zero yield, calculate the following:

i.  The actual price of this 4-year, 15% coupon bond;

ii.  The price of the 4-year bond as estimated by D g  (Note that the change in the bond yield due to the uniform shift in the yield curve is not necessarily 200 basis points since the yield curve is not flat; however, it is acceptable to assume that the shift in the bond yield is also 200 basis points for this question.);

iii.  The price of the 4-year bond as estimated by ∆$  alone;

iv.  The price of the 4-year bond as estimated by both ∆$  and Γ$ .

5.  Risk Measurement,  Risk Management, Duration,  and  Convexity -  20 points

Dollar duration and convexity are used to characterize and to control the riskiness of fixed income securities.  However, several examples were presented in the lectures to exhibit the limitations of these measures. One way we might attempt to improve these measures is by making them more robust to non-uniform shifts in the term structure.

From the expression for the price of a fixed income security that makes annual pay- ments over four years,

P (r(˙)1 , r(˙)2 , r(˙)3 , r(˙)4 ) =  Kte¡˙(r)tt ,

one can perform a Taylor expansion to arrive at an expression relating the change in price of the bond to changes in the zero coupon term structure by

∆P ¼  ∂P ∆r(˙)t + 1  ∂2 2(P) (∆r(˙)t )2 + 1

t=1 s=1,st

∆r(˙)t ∆r(˙)s.

(a) Using the above Taylor expansion and your knowledge of dollar duration and convexity, derive new measures of dollar duration and convexity that are robust to non-uniform shifts in the term structure for a four period coupon paying bond.  Call these new measures ∆$(S)ul  and Γ$(S)ul.   The development of these measures  will not yield a closed form, rather for a four period bond, these measures will represent the responsiveness to each factor.  Specifically, how would you use each  measure to approximate the new price of a bond when the term structure shifts. (b)  Consider an 8% coupon bond maturing in four years with a face value of $1000.

You are given the following information about the current state of the continu- ously compounded zero yield curve, and four possible scenarios that might occur instantaneously.

Yield  Yr.  1      Yield  Yr.  2      Yield  Yr.  3     Yield  Yr.  4 Current               6.25%             7.00%             7.50%             8.00% Scenario 1              7.00%              7.75%              8.25%              8.75% Scenario 2              6.25%              7.50%              8.00%              8.50% Scenario 3              5.00%              6.00%              7.50%              7.00% Scenario 4              7.00%              6.50%              6.25%              6.00% Scenario 5              7.25%              7.75%              7.75%              8.00%

For each scenario, compute the following:

i.  The actual price change of this bond.

ii.  The price change of this bond as estimated by ∆$.  Comment on your find- ings.

iii.  The price change of this bond as estimated by both ∆$  and Γ$ .  Comment on your findings.

iv.  The price change of this bond as estimated by ∆$(S)ul.   Comment on your findings.

v.  The price change of this bond as estimated by both ∆$(S)ul and Γ$(S)ul. Comment on your findings.

When computing the price change using ∆$  and Γ$, use the arithmetic average change in the term structure (equal weights for each maturity) for the uniform change in the term structure.

6.  Risk Management,  Risk Measurement, Duration,  and  Convexity -  15 points

A firm has a 3-year, zero-coupon liability outstanding with $100,000,000 face value.

The following continuously compounded yields on zero coupon bonds are given:

1  Year     2  Year     3  Year     4  Year

0.0575    0.0650    0.0725    0.0750

(a)  The firm wants to hedge its interest rate exposure by setting the dollar duration of its net equity position to zero  (i.e.   setting  ∆$   =  0).    The  firm  also  has $80,452,760.49 cash on hand.   There  are  two instruments available to do the hedging: 2-year and 4- year zeroes, each with $1,000 face value.

i. What amounts of each bond should be purchased to form the hedge?

ii. Immediately after the hedging position is formed, the term structure shifts. What happens to the value of net equity if the zero yield curve drops uni- formly 300 basis points?  increases uniformly 300 basis points?  Comment on your findings.

(b)  Now in addition to a zero dollar duration and a zero net equity, the firm also wants a zero dollar convexity (i.e.  setting ∆$  = 0 and Γ$  = 0).  The firm has $80,452,760.49 cash on hand. There are 1, 2 and 4-year zeroes, each with $1,000 in face value available in the market.

i.  Derive a strategy to accomplish the firm’sgoal.

ii. Immediately after the hedging position is formed, the term structure shifts. What happens to the value of net equity if the zero yield curve drops uni- formly 300 basis points?  increases uniformly 300 basis points?  Comment on your findings.

(c)  Suppose that the firm has to use the cash for some other purposes.  Therefore it does not have any cash on hand at the current time.  However, the firm can achieve zero dollar duration and zero dollar convexity by trading two forward contracts A and B (remember that trading in forwards does not cost anything today). Forward contract A is a 1-year contract which delivers a 1-year, $1,000 face value zero-coupon bond at maturity.  Forward contract B is a 1-year contract which delivers a 2-year, $1,000 face value zero- coupon bond at maturity. What trading strategy in these two forwards will accomplish the objective of the firm?

7.  Risk Management,  Risk Measurement, Duration,  and  Convexity -  10 points

Consider the following three securities:

.  Security A is a 2-year zero which matures two years from today, and pays $1 at maturity;

.  Security B is a 3-year zero which matures three years from today, and pays $1 at maturity;

.  Security C is a 1-year forward contract which matures one year from today, and delivers a 1-year zero (with face value $1) at maturity.

My portfolio currently consists of a long position of 5,000 units of security B and a short position (liability) of 3,000 units of security A. Suppose the only securities I can currently trade (buy/sell) are Security A and Security C. The current term structure based on zero coupon bonds  (with  1-,  2-,  3-,  and  4-year maturity from today) in annualized rates with continuous compounding is:

1 = 5%    2  = 6%    3  = 8%    4  = 10%

(a) What are the current value, the dollar duration and the convexity of my portfolio? Interpret the dollar duration and the convexity numbers  (i.e.  for a 100 basis point parallel increase in the term structure, what do the duration and convexity numbers say?).

(b) Without changing the value of my portfolio (found in part (a)), what do I have to do now (i.e., if anything, long/short what?  how much?)  to achieve a dollar duration of zero for my portfolio?  (Suppose I don’t care about convexity.)

(c) How long is the hedge in part (b) (i.e., the zero dollar duration position) good for? Why? Explain.

8.  Forward  Contracts  and Forward Rates  -  5 points

Jerry does not have any money today and he is thinking of buying a house three years from today.  In order to buy the house, he will have to borrow $100,000 at the time of purchase for a period of 15 years.  Currently, Jerry can borrow money for 18 years at 7% interest per year, and he can lend for 3 years at 4% per year.  Assume annual compounding.

(a)  How can Jerry be sure to lock in the interest rate for his $100,000 housing loan using his lending and borrowing opportunities today?

(b) What is the forward rate on this 15 year loan from year 3 to year 18?

9.  Yield to Maturity, Modified  Yield Duration,  and Dollar Duration  -  10 points

Assume the term structure for the next twenty years based on annual compounding is the following:

T1  = 0:05        T2  = 0:06      T3  = 0:07        T4  = 0:08        T5  = 0:09

T6  = 0:10        T7  = 0:11      T8  = 0:12        T9  = 0:12        T10  = 0:125

T11  = 0:125    T12  = 0:13     T13  = 0:13      T14  = 0:135     T15  = 0:135

T16  = 0:14      T17  = 0:14    T18  = 0:145    T19  = 0:145     T20  = 0:15

The only three cash flows expected in the future (year 1, 10, and 20) are the following: C1  = 100; 000    C10  = ¡ 100; 000    C20  = 100; 000

(a)  Calculate the yield to maturity using annual compounding for the net cash flow position.

(b)  Consider a uniform shift of +100 basis points in the term structure of the contin- uously compounded zero rates. Comment on how this uniform shift in the term structure changes the yield to maturity calculated in part (a).

(c) Would modified yield duration be a useful characterization of the interest sensi- tivity of the net cash flow position? Use annual compounding.

10.  Dollar Duration  and Modified  Yield Duration  -  10 points

Assume the term structure of interest rates as in question 9 above.

Three bonds are available in the market.

Bond A has the following annual payments:

C9 = 1      C10  = 1      C11  = 1    C12  = 1        C13  = 1    C14  = 1     C15  = 1    C16  = 1

C17 = 1    C18 = 1      C19 = 1    C20  = 101

Bond B is a 2-year, 20% coupon bond with annual payments and $100 face value; Bond C is a 20-year 1% coupon bond with annual payments and $100 face value.

(a) Using annual compounding, calculate the dollar duration and the modified yield duration for each of the three bonds;

(b) What is the relationship between the dollar duration of Bond A and the dollar duration of a portfolio consisting of one Bond B and one Bond C? Is the sum of the dollar durations of Bonds A and B the same as the dollar duration of the portfolio?

(c) Is the modified yield duration of the portfolio equal to the weighted average of the modified yield duration of its parts?

11.  Risk Measurement,  Dollar Duration,  and  Convexity -  10 points

You are given the following three securities:

Security A is a 1-year zero which matures one year from today, and pays $1 at maturity. It is currently worth $0.96.

Security B is a 2-year annuity which pays $5 one year from today, and $5 two years from today. It is currently worth $9.35.

Security C is a 3-year annuity which pays $1 one year from today, $1 two years from today, and $1 three years from today. It is currently worth $2.74.

(a) Assuming all three securities are correctly priced, calculate the following:

i.  ∆$  and Γ$  of security A;

ii.  ∆$  and Γ$  of security B;

iii.  ∆$  and Γ$  of security C;

iv.  ∆$  and Γ$  of security D, where D is a 3-year 10% annual coupon bond with a face value of $1.

(b) Assume that there is a 500 basis point upward parallel shift in the continuously compounded zero yield curve, using ∆$  and Γ$  of security D, what is the best approximation of the price of security D?