1.  [25 marks.] Suppose that we have a random sample of normal data

Yi  ∼ N(μ, σ2 ), i = 1, . . . , n

where σ2 is known but μ is unknown. Thus for μ the likelihood function comes from the distribution

Y(¯) ∼ N(μ, σ2 /n),

where Y(¯) =  ： Yi. Assume the prior distribution for μ is given by

N(出, σ2 /n0 ) where 出 and n0 are known constants.

(a)  [10 marks] Show that the posterior distribution for μ is normal with

n0出 + n¯(g)                                                σ 2

mean = E(μ|¯(g)) =                        variance = var (μ|¯(g)) =              

(b)  [4 marks] Provide an interpretation for each of E(μ|¯(g)) and var(μ|¯(g)) in terms of the prior and data means and prior and data sample sizes.

(c)  [4 marks] By writing a future observation Y(˜) = μ + E where E ∼ N(0, σ2 )

independently of the posterior distribution π(μ|¯(g)) explain why the posterior predictive distribution of Y(˜) given ¯(g) is normally distributed. Obtain the mean and variance of this posterior predictive distribution.

(d)  [7 marks] Suppose that in an experiment n = 2, ¯(g) = 130, n0  = 0.25, 出 = 120 and σ2  = 25. Obtain:

(i) the posterior mean, E(μ|¯(g)) and variance, var(μ|¯(g)),

(ii) a 95% credible interval for μ given¯(g),

(iii) the mean and variance of the posterior predictive distribution of a future observation Y˜,

(iv) a 95% prediction interval for a future observation Y˜.

2.  [25 marks.]

Suppose that y1 , . . . , yn are i.i.d. observations from a Poisson distribution with

mean θ where θ > 0 is unknown.  Consider the following three models, that differ in the specification of the prior distribution of θ:

M1    :  θ = 1,

M2    :  π(θ) = θa−1 e −bθ, a > 0, b > 0, M3    :  π(θ) ∝(I(θ),

where I(θ) is the Fisher information number (see the formula sheet for its definition).

(a)  [8 marks] Write down the likelihood function. Hence obtain the Jeffreys prior for θ given by π(θ) =(I(θ).

(b)  [10 marks] Derive an expression for the Bayes factor for comparing models M1 and M2 . If a = b = 1, n = 2 andy1  + y2  = 4, find the values of the

Bayes factor. Which model is preferred?

(c)  [7 marks] Explain why it is problematic to use the Bayes factor to compare M3     with any of the other two models. Describe an alternative approach for comparing M3 with any other model and discuss how it can be implemented using Monte Carlo methods.

3.  [25 marks.]

Assume that we want to use a Gibbs sampler to estimate P(X1  ≥ 0, X2  ≥ 0)

for a normal distribution N(µ, Σ), where µ =    µ(µ)2(1)   and Σ =    σ12(σ12)  σ22(σ12)   .

The pdf of this distribution is