Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Additional Final Practice Problems

MATH 104, Fall 2023

1. Let f : R → R be a continuous function, and deine

S = {x ∈ R :  x = n(l) f (xn ) for some sequence xn -!- ∞}.

Suppose that 0, 1 ∈ S.  Then show that we in fact have [0, 1]     S.

2.  Let f : R → R be a continuous function, and suppose that 1pq f (x) dx = 0 whenever p, q ∈ Q.  Prove that f = 0.

3. Determine if the statement is true or false, with justiication:  Suppose that f : R → R is a continuously diferentiable function which satisies

x(l) f (x) = a,    x(l) f\ (x) = b.

Then we must have b = 0.

4.  Suppose that f : R → R is a continuous function which satisies f (x) = f (x + 1) for all x ∈ R. Show that f is bounded, achieves its maximum and minimum, and is uniformly continuous.

5.  Suppose that (an )n  and (bn )n  are two sequences of nonnegative num- bers, with limn!1 bn  = 0.  Also suppose we have k ∈ (0, 1) such that

an+1        kan + bn ,

for all n. Then show that limn!1 an  = 0.

.

7.  Suppose that f : R → R isa twice-diferentiable function which satisies

0 = f (3) = f (0) = f地 (0).

Show that f地地 (x) = 0 for some x ∈ [0, 3].

8.  Suppose that f : R → R is a function which satisies |f (x)|      |x| 2 , and g : R → R is a bounded function.  Show that f (x)g(x) is diferentiable at x = 0.

9.  Suppose that f : [0, ∞) → R isa continuous function with limx!1 f (x) =

a ∈ R. If the indeinite integral '01 f (x) dx exists, show that a = 0.

10.  Let K be a compact subset of a metric space S, and let {Uj } be a family of open sets covering K.  Prove there exists an E > 0 such that for every x ∈ K we have B(x, E)     Uj   for some j.

11.  Suppose that X     R is a nonempty connected set of real numbers, and X     Q.  Describe all possibilities for the set X .