Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Department of Mathematics and Statistics

MATH 324: Statistics

Midterm Fall 2023

Q1.  Let Y1 , Y2 ,... Yn denote independent and identically distributed random variables of size n from a population whose density is given by

where β > 0 is unknown. Consider the estimator β(ˆ) = Y(1)  = min{Y1 , Y2 ,..., Yn}

a.  Show that β(ˆ) is abiased estimator for β.  (8 pts)

b.  Derive the bias of the estimator β(ˆ).  (4 pts)

c. Derive MSE(β(ˆ)). (6 pts)

Q2.  Suppose that Y1   ,  Y2   ,  .   .   .   ,  Yn denote independent and identically distributed random variables of size n from an exponential distribution with density function given by

a.  Use the method of moment-generating functions to show that 2 Σ Yi/✓ is a pivotal quantity and has a χ2  distribution with 2n degrees of freedom.  (8 pts)

b.  Use the pivotal quantity 2 Σ  Yi/✓ to derive a 95% confidence interval for ✓ (4 pts)

c.  If a sample of size n = 7 yield y = 4.77, use the result from part(b) to give a 95% confidence interval for ✓.  (4 pts)