Guidelines for your work

•  Write your name (as on the roster) and NetID on the first page.

•  If you write on paper, use clean and new sheets of paper and take as much space as necessary.

•  Number your pages in the top-right corner, such as 1/3, 2/3, 3/3.

•  Use a draft and hand in your final version.  Make sure that it

- is clean and legible;

- has each problem clearly indicated;

- does not have anything crossed out or contain notes in the margins;

- has solutions in which all steps are clearly shown and explained, including all steps of the computations;

- has grammatically correct complete sentences, including punctuation and spelling;

- is written using correct mathematical terminology and notation;

- has final answers in exact forms (do not approximate unless otherwise stated).

•  You  may consult your classmates or other resources (including Campuswire and office hours) for ideas on the problems; however, the solutions you turn in must be in your own words and must reflect your own understanding. Your solutions and write-ups will be checked for textual similarities.  You may not copy from, reword, or paraphrase another student’s work or any other resource material; such conduct will be treated as a violation of academic integrity. Remember that you will not learn anything by simply copying, rewording or paraphrasing another person’s work.

Guidelines for Gradescope

•  You can either write on blank or lined paper, use a tablet, or type your assignment in LaTeX.

•  Your work should be uploaded as a single PDF file (not as separate photos).

•  If you write down on paper, scan your work using a scanner or an app.  Make sure that the scans are not blurry and are in portrait mode.

•  When you upload this file, match each exercise with the corresponding pages.

Exercise II: Understanding functions of several vari- ables

Prerequisites:  Functions of several variables

In order to understand a function f , we can compute f (x) for “enough” values of x. For instance, if f is a function of one variable, we can draw the corresponding points (x, f (x)) and “fill in” in between:  this would give us a good idea of what the graph f looks like.  We then pretty much know everything about the function  (e.g.  intervals of increase or decrease, extrema, etc.)

1. Assume that you have a function f defined on  [0, 1],  and you compute f (x) for values of x that are separated by 0.1. You get the following values:

f (0) = 4,  f (0.1) = 3.1,  f (0.2) = 1.9,  f (0.3) = 0.7,  f (0.4) = −0.4,  f (0.5) = − 1.3,

f (0.6) = −2, f (0.7) = −2.1,  f (0.8) = − 1.7,  f (0.9) = −0.6,  f (1) = 1.3  Use these values to draw the graph of f as precisely as possible (use a ruler!).

2.  If you only have access to the values above, how would you guess the global extrema of f? Are these the actual extrema of f? Why or why not?

3.  Now, assume that you have a function of two variables defined on the square

D = {(x, y)  :  0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Once again, you want to compute enough values of f (x, y), with (x, y) separated by 0.1 on a grid pattern. In other words, you compute f (x, y) for

(x, y) = (0, 0), (0.1, 0), (0, 0.1), (0.2, 0), . . . , (1, 1).

How many values do you need to compute?

4.  Generalize to a function of n variables where each variable is in  [0, 1].

5.  Give a numerical application for the previous question for n = 3, n = 10, n = 20, n = 100. Write your result in scientific notation with one significant digit.

6.  How does the result of Question 4 change if we instead want the variables separated by 0.01? Just give the results, no need to explain.  Then give a numerical application as in the previous question.

7.  The current fastest supercomputer can do 1018  operations per second.  Compare to Questions 5 and 6, and comment. Cultural  note: in practice, functions  can have millions of variables or more (such as in AI)!